サブグループ（部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
話題
About: グループ
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループたち }\}\)
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{G\text{ の全てのサブグループたち }\}\)
\(S\): \(= G_1 ... G_n\)で、任意のアソシエイション（結合）を持ったもの
\(S'\): \(= G_1 ... G_n\)で、任意のアソシエイション（結合）を持ったもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S = S'\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ\(G\)、\(G\)の任意のサブグループたち\(G_1, ..., G_n\)に対して、\(S = G_1 ... G_n\)で任意のアソシエイション（結合）を持ったものは\(S' = G_1 ... G_n\)で任意のアソシエイション（結合）を持ったものである。
3: 注
\(S\)や\(S'\)がグループであるとは私たちは主張していない; \(S = S'\)は単にセット上の話である。
4: 証明
各\(p \in S\)に対して、\(p = g_1 ... g_n\)で対応するアソシエイション（結合）を持ったものである。しかし、\(G\)内のマルチプリケーションたちはアソシアティブ（結合的）であるから、そのマルチプリケーションは、\(S'\)のものに対応するアソシエイションで行なうことができる、そして、結果は\(S'\)上にある。したがって、\(S \subseteq S'\)。同様に、\(S' \subseteq S\)。したがって、\(S = S'\)。
