グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）プロダクト（積）はアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）プロダクト（積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）のサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）はアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\vert J \vert = n\)
\(\{S_j \subseteq G \vert j \in J\}\):
\(S\): \(= S_{J_1} ... {J_n}\)の、任意のアソシエーション（結合）によるもの
\(S'\): \(= S_{J_1} ... {J_n}\)の、任意のアソシエーション（結合）によるもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S = S'\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(S \subseteq S'\); Step 2: conclude the proposition.
Step 1:
Let \(s \in S\) be any.
\(s = s_{J_1} ... s_{J_n}\) where \(s_{J_1} \in S_{J_1}, ..., s_{J_n} \in S_{J_n}\), with the association that corresponds to that of \(S\).
But as multiplications in \(G\) are associative, \(s_{J_1} ... s_{J_n}\) is \(s_{J_1} ... s_{J_n}\) with the association that corresponds to that of \(S'\)
So, \(s = s_{J_1} ... s_{J_n} \in S'\).
So, \(S \subseteq S'\).
Step 2:
Symmetrically, \(S' \subseteq S\).
So, \(S = S'\).
