593: サブグループ（部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはアソシアティブ（結合的）である

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サブグループ（部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明

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話題

About: グループ

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループたち }\}$
$\{G_1,...,G_n\}$: $\subseteq \{G\text{ の全てのサブグループたち }\}$
$S$: $=G_1...G_n$で、任意のアソシエイション（結合）を持ったもの
$S^{\prime }$: $=G_1...G_n$で、任意のアソシエイション（結合）を持ったもの
//

ステートメント（言明）たち:
$S=S^{\prime }$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ$G$、$G$の任意のサブグループたち$G_1,...,G_n$に対して、$S=G_1...G_n$で任意のアソシエイション（結合）を持ったものは$S^{\prime }=G_1...G_n$で任意のアソシエイション（結合）を持ったものである。

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3: 注

$S$や$S^{\prime }$がグループであるとは私たちは主張していない; $S=S^{\prime }$は単にセット上の話である。

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4: 証明

各$p\in S$に対して、$p=g_1...g_n$で対応するアソシエイション（結合）を持ったものである。しかし、$G$内のマルチプリケーションたちはアソシアティブ（結合的）であるから、そのマルチプリケーションは、$S^{\prime }$のものに対応するアソシエイションで行なうことができる、そして、結果は$S^{\prime }$上にある。したがって、$S\subseteq S^{\prime }$。同様に、$S^{\prime }\subseteq S$。したがって、$S=S^{\prime }$。

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参考資料

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