グループ（群）のサブグループ（部分群）の、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものはグループ（群）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループたち }\}\)
\(G_1\): \(\in \{G \text{ の全てのサブグループたち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{G \text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G_1 G_2 \in \{G \text{ の全てのサブグループたち }\}\)
\(\land\)
\(G_2 G_1 \in \{G \text{ の全てのサブグループたち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ\(G\)、\(G\)の任意のサブグループ\(G_1\)、\(G\)の任意のノーマルサブグループ\(G_2\)に対して、\(G_1 G_2\)は\(G\)のサブグループであり、\(G_2 G_1\)は\(G\)のサブグループである。
3: 証明
第1に、\(G_1 G_2\)のことを考えよう。
アイデンティティ（単位）要素に対しては、\(1 \in G\)、\(1 \in G_1\)および\(1 \in G_2\)、したがって、\(1 \in G_1 G_2\)。
任意の\(p_1, p'_1 \in G_1\)および任意の\(p_2, p'_2 \in G_2\)に対して、\(p_1 p_2 p'_1 p'_2 = p_1 p'_1 p''_2 {p'_1}^{-1} p'_1 p'_2\)、ここで、\(p''_2 \in G_2\)、なぜなら、\(p'_1 G_2 {p'_1}^{-1} = G_2\)であるから、そういうある\(p''_2\)がある; \(= p_1 p'_1 p''_2 p'_2 \in G_1 G_2\)。
任意の\(p_1 \in G_1\)および任意の\(p_2 \in G_2\)に対して、\((p_1 p_2)^{-1} = {p_2}^{-1} {p_1}^{-1} = {p_1}^{-1} p'_2 p_1 {p_1}^{-1}\)、ここで、\(p'_2 \in G_2\)、なぜなら、\({p_1}^{-1} G_2 p_1 = G_2\)であるから、そうしたある\(p'_2\)がある; \(= {p_1}^{-1} p'_2 \in G_1 G_2\)。
マルチプリケーションたちのアソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲\(G\)の中で成立する。
\(G_2 G_1\)のことを考えよう。
アイデンティティ（単位）要素に対しては、\(1 \in G\)、\(1 \in G_1\)および\(1 \in G_2\)、したがって、\(1 \in G_2 G_1\)。
任意の\(p_1, p'_1 \in G_1\)および任意の\(p_2, p'_2 \in G_2\)に対して、\(p_2 p_1 p'_2 p'_1 = p_2 p_1 {p_1}^{-1} p''_2 p_1 p'_1\)、ここで、\(p''_2 \in G_2\)、なぜなら、\({p_1}^{-1} G_2 p_1 = G_2\)であるから、そうしたある\(p''_2\)がある; \(= p_2 p''_2 p_1 p'_1 \in G_2 G_1\)。
任意の\(p_1 \in G_1\)および任意の\(p_2 \in G_2\)に対して、\((p_2 p_1)^{-1} = {p_1}^{-1} {p_2}^{-1} = {p_1}^{-1} p_1 p'_2 {p_1}^{-1}\)、ここで、\(p'_2 \in G_2\)、なぜなら、\(p_1 G_2 {p_1}^{-1} = G_2\)であるから、そうしたある\(p'_2\)がある; \(= p'_2 {p_1}^{-1} \in G_2 G_1\)。
マルチプリケーションたちのアソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲\(G\)の中で成立する。
