ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループたち }\}\)
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(G \subseteq \{\text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
\(G_1 ... G_n\):
\(G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_n}\): \(\sigma\)は\((1, ..., n)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）である
//
ステートメント（言明）たち:
\(G_1 ... G_n = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_n}\)
\(\land\)
\(G_1 ... G_n \in \{G \text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ\(G\)、\(G\)の任意のノーマルサブグループたち\(G_1, ..., G_n\)に対して、\(G_1 ... G_n = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_n}\)、ここで、\(\sigma\)は\((1, ..., n)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）、および\(G_1 ... G_n\)は\(G\)のノーマルサブグループである。
3: 証明
コミュータティビティ（可換性）を帰納法によって証明しよう。
\(n = 2\)としよう。\(G_1 G_2 = G_2 G_1\)？各\(g_1 g_2 \in G_1 G_2\)に対して、\(g_1 g_2 = g_1 g_2 {g_1}^{-1} g_1\)、しかし、\(g'_2 := g_1 g_2 {g_1}^{-1} \in G_2\)、なぜなら、\(G_2\)はノーマルサブグループである; したがって、\(g_1 g_2 = g'_2 g_1 \in G_2 G_1\)。したがって、\(G_1 G_2 \subseteq G_2 G_1\)。同様に、\(G_2 G_1 \subseteq G_1 G_2\)。したがって、\(G_1 G_2 = G_2 G_1\)。
コミュータティビティ（可換性）が\(n = n'\)まで成立すると仮定しよう。\(G_1 ... G_{n' + 1} = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{n' + 1}}\)？\(G_{\sigma_{n' + 1}} = G_k\)。\(G_1 ... \hat{G_k} ... G_{n' + 1} = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{n'}}\)、仮定によって。\(G_1 ... \hat{G_k} ... G_{n' + 1} G_k = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{n'}} G_{\sigma_{n' + 1}}\)。マルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるので、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって、\(G_1 ... \hat{G_k} ... G_{n'} G_{n' + 1} G_k = G_1 ... \hat{G_k} ... G_{n'} (G_{n' + 1} G_k) = G_1 ... \hat{G_k} ... G_{n'} (G_k G_{n' + 1}) = G_1 ... \hat{G_k} ... (G_{n'} G_k) G_{n' + 1} = G_1 ... \hat{G_k} ... (G_k G_{n'}) G_{n' + 1} = ... = G_1 ... G_k ... G_{n' + 1}\)。したがって、\(G_1 ... G_{n' + 1} = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{n' + 1}}\)。
したがって、各\(2 \le n\)に対して\(G_1 ... G_n = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_n}\)。
\(G_1 ... G_n\)がノーマルサブグループであることを帰納法によって証明しよう。
\(n = 2\)としよう。\(G_1 G_2\)はノーマルサブグループであるか？\(G_1 G_2\)は\(G\)のサブグループである、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。各\(g \in G\)に対して、\(g G_1 G_2 g^{-1} = G_1 G_2\)？各\(g g_1 g_2 g^{-1} \in g G_1 G_2 g^{-1}\)に対して、\(g g_1 g^{-1} g g_2 g^{-1}\)、しかし、\(g g_1 g^{-1} \in G_1\)および\(g g_2 g^{-1} \in G_2\)、したがって、\(g g_1 g_2 g^{-1} \in G_1 G_2\)。したがって、\(g G_1 G_2 g^{-1} \subseteq G_1 G_2\)。したがって、\(g G_1 G_2 g^{-1} = G_1 G_2\)、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって。
主張が\(n = n'\)まで成立すると仮定しよう。\(G_1 ... G_{n' + 1} = (G_1 ... G_{n'}) G_{n' + 1}\)、しかし、\((G_1 ... G_{n'})\)は仮定によりノーマルサブグループである、そして、\((G_1 ... G_{n'}) G_{n' + 1}\)はノーマルサブグループである。
したがって、\(G_1 ... G_n\)は各\(2 \le n\)に対してノーマルサブグループである。
