597: ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループ（正規部分群）である|T.B.P.日本語版

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ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明

話題

About: グループ

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 証明

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

G

\in {全てのグループたち}

{G_{1}, . . ., G_{n}}

G \subseteq {の全てのノーマルサブグループたち}

G_{1} . . . G_{n}

G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n}}

σ

は

(1, . . ., n)

の任意のパーミュテーション（並べ替え）である
//

ステートメント（言明）たち:

G_{1} . . . G_{n} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n}}

\land

G_{1} . . . G_{n} \in {G の全てのノーマルサブグループたち}

2: 自然言語記述

任意のグループ

G

、

G

の任意のノーマルサブグループたち

G_{1}, . . ., G_{n}

に対して、

G_{1} . . . G_{n} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n}}

、ここで、

σ

は

(1, . . ., n)

の任意のパーミュテーション（並べ替え）、および

G_{1} . . . G_{n}

は

G

のノーマルサブグループである。

3: 証明

コミュータティビティ（可換性）を帰納法によって証明しよう。

n = 2

としよう。

G_{1} G_{2} = G_{2} G_{1}

？各

g_{1} g_{2} \in G_{1} G_{2}

に対して、

g_{1} g_{2} = g_{1} g_{2} {g_{1}}^{- 1} g_{1}

、しかし、

g_{2}^{'} := g_{1} g_{2} {g_{1}}^{- 1} \in G_{2}

、なぜなら、

G_{2}

はノーマルサブグループである; したがって、

g_{1} g_{2} = g_{2}^{'} g_{1} \in G_{2} G_{1}

。したがって、

G_{1} G_{2} \subseteq G_{2} G_{1}

。同様に、

G_{2} G_{1} \subseteq G_{1} G_{2}

。したがって、

G_{1} G_{2} = G_{2} G_{1}

。

コミュータティビティ（可換性）が

n = n^{'}

まで成立すると仮定しよう。

G_{1} . . . G_{n^{'} + 1} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n^{'} + 1}}

？

G_{σ_{n^{'} + 1}} = G_{k}

。

G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . G_{n^{'} + 1} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n^{'}}}

、仮定によって。

G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . G_{n^{'} + 1} G_{k} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n^{'}}} G_{σ_{n^{'} + 1}}

。マルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるので、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって、

G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . G_{n^{'}} G_{n^{'} + 1} G_{k} = G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . G_{n^{'}} (G_{n^{'} + 1} G_{k}) = G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . G_{n^{'}} (G_{k} G_{n^{'} + 1}) = G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . (G_{n^{'}} G_{k}) G_{n^{'} + 1} = G_{1} . . . \hat{G_{k}} . . . (G_{k} G_{n^{'}}) G_{n^{'} + 1} = . . . = G_{1} . . . G_{k} . . . G_{n^{'} + 1}

。したがって、

G_{1} . . . G_{n^{'} + 1} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n^{'} + 1}}

。

したがって、各

2 \leq n

に対して

G_{1} . . . G_{n} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n}}

。

G_{1} . . . G_{n}

がノーマルサブグループであることを帰納法によって証明しよう。

n = 2

としよう。

G_{1} G_{2}

はノーマルサブグループであるか？

G_{1} G_{2}

は

G

のサブグループである、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。各

g \in G

に対して、

g G_{1} G_{2} g^{- 1} = G_{1} G_{2}

？各

g g_{1} g_{2} g^{- 1} \in g G_{1} G_{2} g^{- 1}

に対して、

g g_{1} g^{- 1} g g_{2} g^{- 1}

、しかし、

g g_{1} g^{- 1} \in G_{1}

および

g g_{2} g^{- 1} \in G_{2}

、したがって、

g g_{1} g_{2} g^{- 1} \in G_{1} G_{2}

。したがって、

g G_{1} G_{2} g^{- 1} \subseteq G_{1} G_{2}

。したがって、

g G_{1} G_{2} g^{- 1} = G_{1} G_{2}

、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって。

主張が

n = n^{'}

まで成立すると仮定しよう。

G_{1} . . . G_{n^{'} + 1} = (G_{1} . . . G_{n^{'}}) G_{n^{'} + 1}

、しかし、

(G_{1} . . . G_{n^{'}})

は仮定によりノーマルサブグループである、そして、

(G_{1} . . . G_{n^{'}}) G_{n^{'} + 1}

はノーマルサブグループである。

したがって、

G_{1} . . . G_{n}

は各

2 \leq n

に対してノーマルサブグループである。

参考資料

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Pythonを暴く
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2024年5月26日日曜日