595: グループ（群）、そのサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合

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グループ（群）、そのサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、ことの記述/証明

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話題

About: グループ

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
• 読者は、サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループたち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }p\in G^{\prime }\setminus G(pG{p}^{-1}\subseteq G)$
$⟹$
$G\in \{G^{\prime }\text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ$G^{\prime }$、$G^{\prime }$の任意のサブグループ$G$に対して、もしも、各$p\in G^{\prime }\setminus G$に対して、$pG{p}^{-1}\subseteq G$である場合、$G$は$G^{\prime }$のノーマルサブグループである。

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3: 証明

各$p\in G^{\prime }\setminus G$に対して、$pG{p}^{-1}\subseteq G$であると仮定しよう。

明らかに、各$p\in G$に対して、$pG{p}^{-1}\subseteq G$。したがって、各$p\in G^{\prime }$に対して、$pG{p}^{-1}\subseteq G$。

各$p\in G^{\prime }$に対して、$G\subseteq pG{p}^{-1}$？任意の$p^{\prime }\in G$に対して、$p^{″}:=p^{-1}{p}^{\prime }p\in G$を取ろう、なぜなら、$p^{-1}$を$p$の代わりに取れるから。$p^{\prime }=p{p}^{″}{p}^{-1}\in pG{p}^{-1}$。したがって、$G\subseteq pG{p}^{-1}$。したがって、$pG{p}^{-1}=G$、それが意味するのは、$G$は$G^{\prime }$のノーマルサブグループであるということ。

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参考資料

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