グループ（群）、そのサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、ことの記述/証明
話題
About: グループ
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
- 読者は、サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループたち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall p \in G' \setminus G (p G p^{-1} \subseteq G)\)
\(\implies\)
\(G \in \{G' \text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ\(G'\)、\(G'\)の任意のサブグループ\(G\)に対して、もしも、各\(p \in G' \setminus G\)に対して、\(p G p^{-1} \subseteq G\)である場合、\(G\)は\(G'\)のノーマルサブグループである。
3: 証明
各\(p \in G' \setminus G\)に対して、\(p G p^{-1} \subseteq G\)であると仮定しよう。
明らかに、各\(p \in G\)に対して、\(p G p^{-1} \subseteq G\)。したがって、各\(p \in G'\)に対して、\(p G p^{-1} \subseteq G\)。
各\(p \in G'\)に対して、\(G \subseteq p G p^{-1}\)？任意の\(p' \in G\)に対して、\(p '' := p^{-1} p' p \in G\)を取ろう、なぜなら、\(p^{-1}\)を\(p\)の代わりに取れるから。\(p' = p p'' p^{-1} \in p G p^{-1}\)。したがって、\(G \subseteq p G p^{-1}\)。したがって、\(p G p^{-1} = G\)、それが意味するのは、\(G\)は\(G'\)のノーマルサブグループであるということ。
