564: モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である

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モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のモジュール（加群）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$M$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち}\}$
$S$: $=\{p_1,...,p_n\}\subseteq M$, $\in \{M\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }\{d^1,...,d^n\}\subset R\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }{d}^j\ne 0,\mathrm{\forall }\{c_1^1,c_2^1,c_2^2,c_3^1,c_3^2,c_3^3,...,c_n^1,...,c_n^n\}\subset R\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }{c}_j^j\ne 0(\{d^1{c}_1^1{p}_1,d^2(c_2^1{p}_1+c_2^2{p}_2),...,d^n(c_n^1{p}_1+...+c_n^n{p}_n)\}\in \{M\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\})$.
//

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2: 自然言語記述

任意のリング（環）$R$、任意の$R$モジュール（加群）$M$、$M$の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）$S=\{p_1,...,p_n\}\subseteq M$に対して、以下を満たす各$\{d^1,...,d^n\}\subset R$、つまり、$d^j\ne 0$、および以下を満たす各$\{c_1^1,c_2^1,c_2^2,c_3^1,c_3^2,c_3^3,...,c_n^1,...,c_n^n\}\subset R$、つまり、$c_j^j\ne 0$、に対して、$\{d^1{c}_1^1{p}_1,d^2(c_2^1{p}_1+c_2^2{p}_2),...,d^n(c_n^1{p}_1+...+c_n^n{p}_n)\}\subseteq M$は$M$のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）である。

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3: 証明

$t^1{d}^1{c}_1^1{p}_1+t^2{d}^2(c_2^1{p}_1+c_2^2{p}_2)+...+t^{n-1}{d}^{n-1}(c_{n-1}^1{p}_1+...+c_{n-1}^{n-1}{p}_{n-1})+t^n{d}^n(c_n^1{p}_1+...+c_n^n{p}_n)=0$、ここで、$t^j\in R$、について考えよう。

$(t^1{d}^1{c}_1^1+t^2{d}^2{c}_2^1+...+t^n{d}^n{c}_n^1)p_1+(t^2{d}^2{c}_2^2+...+t^n{d}^n{c}_n^2)p_2+...+(t^{n-1}{d}^{n-1}{c}_{n-1}^{n-1}+t^n{d}^n{c}_n^{n-1})p_{n-1}+(t^n{d}^n{c}_n^n)p_n=0$。

$\{p_1,...,p_n\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、$t^n{d}^n{c}_n^n=0$である、しかし、$d^n\ne 0$および$c_n^n\ne 0$であるから、$t^n=0$。$t^{n-1}{d}^{n-1}{c}_{n-1}^{n-1}+t^n{d}^n{c}_n^{n-1}=0$、しかし、$t^n=0$、$d^{n-1}\ne 0$、$c_{n-1}^{n-1}\ne 0$であるから、$t^{n-1}=0$。等々と続く。結局、$t^1=...=t^n=0$。

したがって、$\{d^1{c}_1^1{p}_1,d^2(c_2^1{p}_1+c_2^2{p}_2),...,d^n(c_n^1{p}_1+...+c_n^n{p}_n)\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

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参考資料

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