586: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、スーパスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）マイナスサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものはスーパースペース（空間）マイナスサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）である

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トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、スーパスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）マイナスサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものはスーパースペース（空間）マイナスサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、その任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブスペース（部分空間）マイナス当該サブセット（部分集合）で当該サブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものは当該スーパースペース（空間）マイナス当該サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $\subseteq T^{\prime }$で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
$S$: $\subseteq T^{\prime }$
$T^{\prime }\setminus S\subseteq T^{\prime }$: サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//

ステートメント（言明）たち:
$T\setminus S$で$T$のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、$T\setminus S$で$T^{\prime }\setminus S$のサブスペース（部分空間）とみなしたものである。
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T^{\prime }$、任意のサブスペース（部分空間）$T\subseteq T^{\prime }$、任意の$S\subseteq T^{\prime }$、$T^{\prime }\setminus S\subseteq T^{\prime }$でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つものに対して、$T\setminus S$で$T$のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、$T\setminus S$で$T^{\prime }\setminus S$のサブスペース（部分空間）とみなしたものである。

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3: 証明

$U\subseteq T\setminus S$は、$T\setminus S$で$T$のサブスペース（部分空間）とみなしたものの任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U=U^{\prime }\cap (T\setminus S)$、ここで、$U^{\prime }\subseteq T$は$T$のあるオープンサブセット（開部分集合）。$U^{\prime }=U^{″}\cap T$、ここで、$U^{″}\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$のあるオープンサブセット（開部分集合）。$U=U^{″}\cap T\cap (T\setminus S)=U^{″}\cap (T\setminus S)=U^{″}\cap (T^{\prime }\setminus S)\cap (T\setminus S)$、しかし、$U^{″}\cap (T^{\prime }\setminus S)\subseteq T^{\prime }\setminus S$は$T^{\prime }\setminus S$のオープンサブセット（開部分集合）であり、$U^{″}\cap (T^{\prime }\setminus S)\cap (T\setminus S)$は、$T\setminus S$で$T^{\prime }\setminus S$のサブスペース（部分空間）とみなしたもののオープンサブセット（開部分集合）である。

$U\subseteq T\setminus S$は、$T\setminus S$で$T^{\prime }\setminus S$のサブスペース（部分空間）とみなしたもの任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U=U^{\prime }\cap (T\setminus S)$、ここで、$U^{\prime }\subseteq T^{\prime }\setminus S$は$T^{\prime }\setminus S$のあるオープンサブセット（開部分集合）。$U^{\prime }=U^{″}\cap (T^{\prime }\setminus S)$、ここで、$U^{″}\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$のあるオープンサブセット（開部分集合）。$U=U^{″}\cap (T^{\prime }\setminus S)\cap (T\setminus S)=U^{″}\cap (T\setminus S)=U^{″}\cap T\cap (T\setminus S)$、しかし、$U^{″}\cap T\subseteq T$は$T$のオープンサブセット（開部分集合）であり、$U^{″}\cap T\cap (T\setminus S)\subseteq T\setminus S$は、$T\setminus S$で$T$のサブスペース（部分空間）とみなしたもののオープンサブセット（開部分集合）である。

したがって、$T\setminus S$で$T$のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、$T\setminus S$で$T^{\prime }\setminus S$のサブスペース（部分空間）とみなしたものである。

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参考資料

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