トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、スーパスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）マイナスサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものはスーパースペース（空間）マイナスサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、その任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブスペース（部分空間）マイナス当該サブセット（部分集合）で当該サブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものは当該スーパースペース（空間）マイナス当該サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\subseteq T'\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq T'\)
\(T' \setminus S \subseteq T'\): サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \setminus S\)で\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、\(T \setminus S\)で\(T' \setminus S\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものである。
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T'\)、任意のサブスペース（部分空間）\(T \subseteq T'\)、任意の\(S \subseteq T'\)、\(T' \setminus S \subseteq T'\)でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つものに対して、\(T \setminus S\)で\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、\(T \setminus S\)で\(T' \setminus S\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものである。
3: 証明
\(U \subseteq T \setminus S\)は、\(T \setminus S\)で\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものの任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U = U' \cap (T \setminus S)\)、ここで、\(U' \subseteq T\)は\(T\)のあるオープンサブセット（開部分集合）。\(U' = U'' \cap T\)、ここで、\(U'' \subseteq T'\)は\(T'\)のあるオープンサブセット（開部分集合）。\(U = U'' \cap T \cap (T \setminus S) = U'' \cap (T \setminus S) = U'' \cap (T' \setminus S) \cap (T \setminus S)\)、しかし、\(U'' \cap (T' \setminus S) \subseteq T' \setminus S\)は\(T' \setminus S\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(U'' \cap (T' \setminus S) \cap (T \setminus S)\)は、\(T \setminus S\)で\(T' \setminus S\)のサブスペース（部分空間）とみなしたもののオープンサブセット（開部分集合）である。
\(U \subseteq T \setminus S\)は、\(T \setminus S\)で\(T' \setminus S\)のサブスペース（部分空間）とみなしたもの任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U = U' \cap (T \setminus S)\)、ここで、\(U' \subseteq T' \setminus S\)は\(T' \setminus S\)のあるオープンサブセット（開部分集合）。\(U' = U'' \cap (T' \setminus S)\)、ここで、\(U'' \subseteq T'\)は\(T'\)のあるオープンサブセット（開部分集合）。\(U = U'' \cap (T' \setminus S) \cap (T \setminus S) = U'' \cap (T \setminus S) = U'' \cap T \cap (T \setminus S)\)、しかし、\(U'' \cap T \subseteq T\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(U'' \cap T \cap (T \setminus S) \subseteq T \setminus S\)は、\(T \setminus S\)で\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしたもののオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(T \setminus S\)で\(T\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、\(T \setminus S\)で\(T' \setminus S\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものである。
