2024年5月26日日曜日

587: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミット

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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F1: ∈{R,C}、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
F2: ∈{R,C}、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
V1: ∈{F1 の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }
V2: ∈{F2 の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }
f: :V1→V2
p: ∈V1
∗limpf: ∈V2
//

コンディションたち:
∀ϵ∈R で以下を満たすもの、つまり、 0<ϵ(∃δ∈R で以下を満たすもの、つまり、 0<δ(∀p′∈V1 で以下を満たすもの、つまり、 ‖p′−p‖<δ(‖f(p′)−limpf‖<ϵ)))。
//

2: 自然言語記述


RまたはCでカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つものF1、RまたはCでカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つものF2、F1の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペースV1、F2の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペースV2、任意のマップf:V1→V2、任意のポイントp∈V1に対して、limpf∈V2で以下を満たすもの、つまり、各ϵ∈Rで0<ϵを満たすものに対して、以下を満たすあるδ∈R、つまり、0<δで‖p′−p‖<δを満たす各p′∈V1でに対して、‖f(p′)−limpf‖<ϵ、がある

3: 注


limpfは必ずしも存在しない。

複数のリミットたちがあることはあり得ない、なぜなら、あるlimpfが存在すると仮定して、以下を満たすl∈V2、つまり、l≠limpf、に対して、各p′∈V1に対して、‖l−limpf‖=‖l−f(p′)+f(p′)−limpf‖≤‖l−f(p′)‖+‖f(p′)−limpf‖、それが含意するのは、‖l−limpf‖−‖f(p′)−limpf‖≤‖l−f(p′)‖、しかし、0<‖l−limpf‖、そして、あるδに対して、以下を満たす各p′∈V1、つまり、‖p′−p‖<δに対して、‖f(p′)−limpf‖<1/2‖l−limpf‖、それが含意するのは、1/2‖l−limpf‖<‖l−f(p′)‖、そして、ϵ=1/2‖l−limpf‖に対して、いかなるδ′に対しても、以下を満たすあるp′、つまり、‖p′−p‖<min(δ,δ′)およびϵ<‖l−f(p′)‖、がある、それが含意するのは、lはリミットではないということ。

limpfは必ずしもf(p)に等しくない。

もしも、limpfが存在しf(p)に等しい場合、fはpにおいてコンティニュアス（連続）である。

参考資料
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