ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F_1\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( F_2\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V_1\): \(\in \{F_1\text{ の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}\)
\( V_2\): \(\in \{F_2\text{ の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}\)
\( f\): \(: V_1 \to V_2\)
\( p\): \(\in V_1\)
\(*lim_p f\): \(\in V_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists \delta \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta (\forall p' \in V_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \Vert p' - p \Vert \lt \delta (\Vert f (p') - lim_p f \Vert \lt \epsilon)))\)。
//
2: 自然言語記述
\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)でカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの\(F_1\)、\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)でカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの\(F_2\)、\(F_1\)の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペース\(V_1\)、\(F_2\)の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペース\(V_2\)、任意のマップ\(f: V_1 \to V_2\)、任意のポイント\(p \in V_1\)に対して、\(lim_p f \in V_2\)で以下を満たすもの、つまり、各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)で\(0 \lt \epsilon\)を満たすものに対して、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)で\(\Vert p' - p \Vert \lt \delta\)を満たす各\(p' \in V_1\)でに対して、\(\Vert f (p') - lim_p f \Vert \lt \epsilon\)、がある
3: 注
\(lim_p f\)は必ずしも存在しない。
複数のリミットたちがあることはあり得ない、なぜなら、ある\(lim_p f\)が存在すると仮定して、以下を満たす\(l \in V_2\)、つまり、\(l \neq lim_p f\)、に対して、各\(p' \in V_1\)に対して、\(\Vert l - lim_p f \Vert = \Vert l - f (p') + f (p') - lim_p f \Vert \le \Vert l - f (p') \Vert + \Vert f (p') - lim_p f \Vert\)、それが含意するのは、\(\Vert l - lim_p f \Vert - \Vert f (p') - lim_p f \Vert \le \Vert l - f (p') \Vert\)、しかし、\(0 \lt \Vert l - lim_p f \Vert\)、そして、ある\(\delta\)に対して、以下を満たす各\(p' \in V_1\)、つまり、\(\Vert p' - p \Vert \lt \delta\)に対して、\(\Vert f (p') - lim_p f \Vert \lt 1 / 2 \Vert l - lim_p f \Vert\)、それが含意するのは、\(1 / 2 \Vert l - lim_p f \Vert \lt \Vert l - f (p') \Vert\)、そして、\(\epsilon = 1 / 2 \Vert l - lim_p f \Vert\)に対して、いかなる\(\delta'\)に対しても、以下を満たすある\(p'\)、つまり、\(\Vert p' - p \Vert \lt min (\delta, \delta')\)および\(\epsilon \lt \Vert l - f (p') \Vert\)、がある、それが含意するのは、\(l\)はリミットではないということ。
\(lim_p f\)は必ずしも\(f (p)\)に等しくない。
もしも、\(lim_p f\)が存在し\(f (p)\)に等しい場合、\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である。
