トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）はサブセット（部分集合）およびサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義を知っている。
- 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）は当該サブセット（部分集合）および当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(\dot{S}\): \(= S\text{ のバウンダリー（境界） }\)
\(\tilde{S}\): \(= \{p \in T \vert \forall N_p \in \{p \text{ の } T \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\} (N_p \cap S \neq \emptyset \land N_p \cap (T \setminus S) \neq \emptyset)\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\dot{S} = \tilde{S}\).
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)のバウンダリー（境界）\(\dot{S}\)は\(\tilde{S} := \{p \in T \vert \forall N_p \in \{p \text{ の } T \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\} (N_p \cap S \neq \emptyset \land N_p \cap (T \setminus S) \neq \emptyset)\}\)に等しい。
3: 証明
任意の\(p \in \dot{S}\)に対して、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p \cap S \neq \emptyset\)および\(N_p \cap (T \setminus S) \neq \emptyset\)、したがって、\(p \in \tilde{S}\)。
任意の\(p \in \tilde{S}\)に対して、\(p \in \overline{S}\)および\(p \in \overline{T \setminus S}\)、したがって、\(p \in \dot{S}\)。
