585: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）はサブセット（部分集合）およびサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）はサブセット（部分集合）およびサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものであることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）は当該サブセット（部分集合）および当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq T$
$\dot{S}$: $=S\text{ のバウンダリー（境界） }$
$\tilde{S}$: $=\{p\in T|\mathrm{\forall }{N}_p\in \{p\text{ の }T\text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}(N_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing }\wedge N_p\cap (T\setminus S)\ne \mathrm{\varnothing })\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\dot{S}=\tilde{S}$.
//

---

2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$S$のバウンダリー（境界）$\dot{S}$は$\tilde{S}:=\{p\in T|\mathrm{\forall }{N}_p\in \{p\text{ の }T\text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}(N_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing }\wedge N_p\cap (T\setminus S)\ne \mathrm{\varnothing })\}$に等しい。

---

3: 証明

任意の$p\in \dot{S}$に対して、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$N_p\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$および$N_p\cap (T\setminus S)\ne \mathrm{\varnothing }$、したがって、$p\in \tilde{S}$。

任意の$p\in \tilde{S}$に対して、$p\in \bar{S}$および$p\in \overline{T\setminus S}$、したがって、$p\in \dot{S}$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>