2024年5月26日日曜日

589: グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）

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グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
G′: ∈{ 全てのグループ（群）たち }
G: ∈{G′ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }
∗G′/G: ={[g′]⊆G′|g′∈G′∧∀g″∈G′(g″∈g′G⟺g″∈[g′])}で、グループ（群）オペレーションを持ったもの
//

コンディションたち:
[g′][g″]=[g′g″]
//

2: 自然言語記述


任意のグループ（群）G′、G′の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）Gに対して、G′/G:={[g′]⊆G′|g′∈G′∧∀g″∈G′(g″∈g′G⟺g″∈[g′])}で、グループ（群）オペレーション[g′][g″]=[g′g″]を持つもの

3: 注


G′/Gは本当にイクイバレンスクラス（同値類）たちのセット（集合）である: 各g′∈G′は[g′]へ属する、なぜなら、g′=g′1∈g′G、ここで、1∈G; もしも、g′∈[g″]である場合（それが含意するのはあるg1∈Gに対してg′=g″g1）、[g″]=[g′]、なぜなら、各g‴∈[g″]に対して、g‴=g″g2、ここで、g2∈G、=g′g1−1g2∈g′G、そして、各g‴∈[g′]に対して、g‴=g′g2、ここで、g2∈G、=g″g1g2∈g″G; したがって、G′の各要素はユニークなクラスに属する。

[g′][g″]=[g′g″]は本当にウェルデファインド（妥当に定義されている）: 各g′g1∈[g′]およびg″g2∈[g″]に対して、g′g1g″g2=g′g″g″−1g1g″g2、しかし、g″−1g1g″∈G、なぜなら、Gはノーマルサブグループ（正規部分群）である（実のところ、このために、Gはノーマルサブグループ（正規部分群）であるように要求されたのである）、したがって、g′g1g″g2∈[g′g″]で、したがって、[g′g1g″g2]=[g′g″]、それが意味するのは、当該定義は代表たちに依存しないということ。

G′/Gは本当にグループ（群）である: [1]はアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、[1][g′]=[1g′]=[g′]=[g′1]=[g′][1]; [g′][g″]=[g′g″]∈G′/G; [g′−1][g′]=[g′−1g′]=[1]=[g′g′−1]=[g′][g′−1]; ([g′][g″])[g‴]=[g′g″][g‴]=[g′g″g‴]=[g′][g″g‴]=[g′]([g″][g‴])。

本定義はg′Gを使っているが、代わりにGg′を使っても何も変わらない、なぜなら、g′G=Gg′: 各g″∈g′Gに対して、あるg1∈Gに対してg″=g′g1、しかし、=g′g1g′−1g′およびg′g1g′−1∈G、なぜなら、Gはノーマルサブグループ（正規部分群）である、それが含意するのは、g″∈Gg′; 各g″∈Gg′に対して、あるg1∈Gに対してg″=g1g′、しかし、=g′g′−1g1g′およびg′−1g1g′∈G、なぜなら、Gはノーマルサブグループ（正規部分群）である、それが含意するのはg″∈g′G。

参考資料
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