グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( G\): \(\in \{G'\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(*G' / G\): \(= \{[g'] \subseteq G' \vert g' \in G' \land \forall g'' \in G' (g'' \in g' G \iff g'' \in [g'])\}\)で、グループ（群）オペレーションを持ったもの
//
コンディションたち:
\([g'] [g''] = [g' g'']\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G'\)、\(G'\)の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）\(G\)に対して、\(G' / G := \{[g'] \subseteq G' \vert g' \in G' \land \forall g'' \in G' (g'' \in g' G \iff g'' \in [g'])\}\)で、グループ（群）オペレーション\([g'] [g''] = [g' g'']\)を持つもの
3: 注
\(G' / G\)は本当にイクイバレンスクラス（同値類）たちのセット（集合）である: 各\(g' \in G'\)は\([g']\)へ属する、なぜなら、\(g' = g' 1 \in g' G\)、ここで、\(1 \in G\); もしも、\(g' \in [g'']\)である場合（それが含意するのはある\(g_1 \in G\)に対して\(g' = g'' g_1\)）、\([g''] = [g']\)、なぜなら、各\(g''' \in [g'']\)に対して、\(g''' = g'' g_2\)、ここで、\(g_2 \in G\)、\(= g' {g_1}^{-1} g_2 \in g' G\)、そして、各\(g''' \in [g']\)に対して、\(g''' = g' g_2\)、ここで、\(g_2 \in G\)、\(= g'' g_1 g_2 \in g'' G\); したがって、\(G'\)の各要素はユニークなクラスに属する。
\([g'] [g''] = [g' g'']\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義されている）: 各\(g' g_1 \in [g']\)および\(g'' g_2 \in [g'']\)に対して、\(g' g_1 g'' g_2 = g' g'' g''^{-1} g_1 g'' g_2\)、しかし、\(g''^{-1} g_1 g'' \in G\)、なぜなら、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である（実のところ、このために、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）であるように要求されたのである）、したがって、\(g' g_1 g'' g_2 \in [g' g'']\)で、したがって、\([g' g_1 g'' g_2] = [g' g'']\)、それが意味するのは、当該定義は代表たちに依存しないということ。
\(G' / G\)は本当にグループ（群）である: \([1]\)はアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、\([1] [g'] = [1 g'] = [g'] = [g' 1] = [g'] [1]\); \([g'] [g''] = [g' g''] \in G' / G\); \([g'^{-1}] [g'] = [g'^{-1} g'] = [1] = [g' g'^{-1}] = [g'] [g'^{-1}]\); \(([g'] [g'']) [g'''] = [g' g''] [g'''] = [g' g'' g'''] = [g'] [g'' g'''] = [g'] ([g''] [g'''])\)。
本定義は\(g' G\)を使っているが、代わりに\(G g'\)を使っても何も変わらない、なぜなら、\(g' G = G g'\): 各\(g'' \in g' G\)に対して、ある\(g_1 \in G\)に対して\(g'' = g' g_1\)、しかし、\(= g' g_1 g'^{-1} g'\)および\(g' g_1 g'^{-1} \in G\)、なぜなら、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である、それが含意するのは、\(g'' \in G g'\); 各\(g'' \in G g'\)に対して、ある\(g_1 \in G\)に対して\(g'' = g_1 g'\)、しかし、\(= g' g'^{-1} g_1 g'\)および\(g'^{-1} g_1 g' \in G\)、なぜなら、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である、それが含意するのは\(g'' \in g' G\)。
