588: ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップ

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ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、マップの定義を知っている。
• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F_1$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
$F_2$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
$V_1$: $\in \{F_1\text{ の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}$
$V_2$: $\in \{F_2\text{ の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}$
$p$: $\in V_1$
$\ast f$: $:V_1\to V_2$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\exists }li{m}_{p}f\in V_2\wedge li{m}_{p}f=f(p)$.
//

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2: 自然言語記述

$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$でカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの$F_1$、$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$でカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの$F_2$、$F_1$の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペース$V_1$、$F_2$の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペース$V_2$、任意のポイント$p\in V_1$に対して、以下を満たす任意のマップ$f:V_1\to V_2$、つまり、$p$におけるリミット$li{m}_{p}f$が存在し、$li{m}_{p}f=f(p)$

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3: 注

本定義は、以下の定義と同値である:任意のシーケンス（列）$p_1,p_2,...$、ここで、$p_j\in V_1$、で$p$へコンバージ（収束）するものに対して、シーケンス（列）$f(p_1),f(p_2),...$は$f(p)$へコンバージ（収束）する。

その事実を確認しよう。

$f$は$p$においてコンティニュアス（連続）であると仮定しよう、本記事の定義によって。任意の$ϵ$に対して、以下を満たすある$\delta$、つまり、各$p^{\prime }$で$\Vert p^{\prime }-p\Vert <\delta$を満たすものに対して、$\Vert f(p^{\prime })-f(p)\Vert <ϵ$、がある。$p$へコンバージ（収束）する任意のシーケンス（列）$p_1,p_2,...$に対して、以下を満たすある$k$、つまり、各$k<j$に対して、$\Vert p_j-p\Vert <\delta$、がある。すると、各$k<j$,に対して、$\Vert f(p_j)-f(p)\Vert <ϵ$、それが意味するのは、$f(p_1),f(p_2),...$は$f(p)$へコンバージするということ。

逆方向に対しては、対偶を考えよう。$f$は$p$でコンティニュアス（連続）でないと仮定しよう。それが意味するのは、ある$ϵ$に対して、以下を満たす$\delta$、つまり、各$p^{\prime }\in V_1$で$\Vert p^{\prime }-p\Vert <\delta$を満たすものに対して、$\Vert f(p^{\prime })-f(p)\Vert <ϵ$、がないということ、それが含意するのは、各$\delta$に対して、以下を満たすある$p^{\prime }$、つまり、$\Vert p^{\prime }-p\Vert <\delta$であるが$ϵ\le \Vert f(p^{\prime })-f(p)\Vert$である、があるということ。${\delta }_1=1/1,{\delta }_2=1/2,...$および$p_1^{\prime },p_2^{\prime },...$を、$\Vert p_j^{\prime }-p\Vert <{\delta }_j$および$ϵ\le \Vert f(p_j^{\prime })-f(p)\Vert$として取ろう。すると、$p_1^{\prime },p_2^{\prime },...$は$p$へコンバージ（収束）するが、$f(p_1^{\prime }),f(p_2^{\prime }),...$は$f(p)$へコンバージ（収束）しない、それは、'任意のシーケンス（列）$p_1,p_2,...$、ここで、$p_j\in V_1$、で$p$へコンバージ（収束）するものに対して、シーケンス（列）$f(p_1),f(p_2),...$は$f(p)$へコンバージ（収束）する'の否定である。したがって、対偶は正しい、したがって、逆方向は正しい。

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参考資料

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