ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップの定義
話題
About: ベクトルたちスペース
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップの定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F_1\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( F_2\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V_1\): \(\in \{F_1\text{ の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}\)
\( V_2\): \(\in \{F_2\text{ の上方の全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}\)
\( p\): \(\in V_1\)
\(*f\): \(: V_1 \to V_2\)
//
コンディションたち:
\(\exists lim_p f \in V_2 \land lim_p f = f (p)\).
//
2: 自然言語記述
\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)でカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの\(F_1\)、\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)でカノニカル（自然な）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの\(F_2\)、\(F_1\)の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペース\(V_1\)、\(F_2\)の上方の任意のノルム付きベクトルたちスペース\(V_2\)、任意のポイント\(p \in V_1\)に対して、以下を満たす任意のマップ\(f: V_1 \to V_2\)、つまり、\(p\)におけるリミット\(lim_p f\)が存在し、\(lim_p f = f (p)\)
3: 注
本定義は、以下の定義と同値である:任意のシーケンス（列）\(p_1, p_2, ...\)、ここで、\(p_j \in V_1\)、で\(p\)へコンバージ（収束）するものに対して、シーケンス（列）\(f (p_1), f (p_2), ...\)は\(f (p)\)へコンバージ（収束）する。
その事実を確認しよう。
\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）であると仮定しよう、本記事の定義によって。任意の\(\epsilon\)に対して、以下を満たすある\(\delta\)、つまり、各\(p'\)で\(\Vert p' - p \Vert \lt \delta\)を満たすものに対して、\(\Vert f (p') - f (p) \Vert \lt \epsilon\)、がある。\(p\)へコンバージ（収束）する任意のシーケンス（列）\(p_1, p_2, ...\)に対して、以下を満たすある\(k\)、つまり、各\(k \lt j\)に対して、\(\Vert p_j - p \Vert \lt \delta\)、がある。すると、各\(k \lt j\),に対して、\(\Vert f (p_j) - f (p) \Vert \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(f (p_1), f (p_2), ...\)は\(f (p)\)へコンバージするということ。
逆方向に対しては、対偶を考えよう。\(f\)は\(p\)でコンティニュアス（連続）でないと仮定しよう。それが意味するのは、ある\(\epsilon\)に対して、以下を満たす\(\delta\)、つまり、各\(p' \in V_1\)で\(\Vert p' - p \Vert \lt \delta\)を満たすものに対して、\(\Vert f (p') - f (p) \Vert \lt \epsilon\)、がないということ、それが含意するのは、各\(\delta\)に対して、以下を満たすある\(p'\)、つまり、\(\Vert p' - p \Vert \lt \delta\)であるが\(\epsilon \le \Vert f (p') - f (p) \Vert\)である、があるということ。\(\delta_1 = 1 / 1, \delta_2 = 1 / 2, ...\)および\(p'_1, p'_2, ...\)を、\(\Vert p'_j - p \Vert \lt \delta_j\)および\(\epsilon \le \Vert f (p'_j) - f (p) \Vert\)として取ろう。すると、\(p'_1, p'_2, ...\)は\(p\)へコンバージ（収束）するが、\(f (p'_1), f (p'_2), ...\)は\(f (p)\)へコンバージ（収束）しない、それは、'任意のシーケンス（列）\(p_1, p_2, ...\)、ここで、\(p_j \in V_1\)、で\(p\)へコンバージ（収束）するものに対して、シーケンス（列）\(f (p_1), f (p_2), ...\)は\(f (p)\)へコンバージ（収束）する'の否定である。したがって、対偶は正しい、したがって、逆方向は正しい。
