2024年6月2日日曜日

606: ベクトルの、共通の構成要素を持つ2つのディコンポジション（分解）たちに対して、共通構成要素の係数たちは同一である、もしも、共通構成要素が、他の構成要素たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない場合

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
ベクトルの、共通の構成要素を持つ2つのディコンポジション（分解）たちに対して、共通構成要素の係数たちは同一である、もしも、共通構成要素が、他の構成要素たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない場合、ことの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルの、共通の構成要素を持つ任意の2つのディコンポジション（分解）たちに対して、共通構成要素の係数たちは同一である、もしも、共通構成要素が、他の構成要素たち全てによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない場合、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
v1: ∈V
{v2,...,vk,v2′,...,vl′}: ⊆V
v: =t1v1+t2v2+...+tkvk=t′1v1+t′2v2′+...+t′lvl′∈V
V′: = によってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間） {v2,...,vk,v2′,...,vl′}, ⊆V
//

ステートメント（言明）たち:
v1∉V′
⟹
t1=t′1
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペース（空間）V、任意のv1∈V、任意の{v2,...,vk,v2′,...,vl′}⊆V、任意のv=t1v1+t2v2+...+tkvk=t′1v1+t′2v2′+...+t′lvl′∈V、{v2,...,vk,v2′,...,vl′}によってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）V′⊆Vに対して、もしも、v1∉V′である場合、t1=t′1である。

3: 注


{v2,...,vk}も{v2′,...,vl′}もリニア（線形）にインディペンデント（独立）である必要はない。

V=R2、v1=(0,1)、v2=(1,0)、v2′=(1,−1)である時、v=(1,1)=1v1+1v2=2v1+v2′、したがって、t1≠t′1: v1の係数は第2の構成要素の選択、v2またはv2′、に依存する。

V=R3、v1=(0,0,1)、v2=(1,0,0)、v3=(0,1,0)、v2′=(a,b,0)、v3′=(c,d,0)（ad−bc≠0であると仮定する）である時、v=(1,1,1)=1v1+1v2+1v3=1v1+1/(ad−bc)(d−c)v2′+1/(ad−bc)(−b+a)v3′、したがって、必ずt1=t′1。

何が違うのか？v1が、v2,v3,v2′,v3′があるx−y平面へ垂直だからなのか？違う（つまり、それは厳しすぎる要求である）: v1=(1,0,1)と取ろう、それはx−y平面へ垂直ではない、しかし、それでも、必ずt1=t′1である、なぜなら、zコンポーネントはv1からのみ寄与を受けるのであり、t1=t′1が、zコンポーネントが正しくあるために要求される。

そもそも、'垂直'というコンセプトはあるインナープロダクト（内積）を要求する、しかし、私たちはなぜインナープロダクト（内積）を必要とするのか？

実のところ、違いは、第1のケースに対しては、v1は、v2,v2′によってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にあり、その一方、第2のケース（v1がx−y平面に対して垂直でない時を含め）に対しては、v1は、v2,v3,v2′,v3′によってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない、ということである。

4: 証明


v1∉V′だと仮定しよう。

t1v1+t2v2+...+tkvk=t′1v1+t′2v2′+...+t′lvl′は、t1v1−t′1v1=(t1−t′1)v1=−t2v2−...−tkvk+t′2v2′+...+t′lvl′を含意する。v1はV′上にないので、t1−t′1=0: そうでなければ、v1=1/(t1−t′1)(−t2v2−...−tkvk+t′2v2′+...+t′lvl′)、矛盾。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: