605: グループ（群）たちのファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である|T.B.P.日本語版

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グループ（群）たちのファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

話題

About: グループ（群）

開始コンテキスト

読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を知っている。
読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、グループ（群）たちの任意のファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは任意の対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

{G_{1}, . . ., G_{n}}

\subseteq {全てのグループ（群）たち}

G_{1} \times . . . \times G_{n}

= 当該ダイレクトプロダクト

{G_{1}^{'}, . . ., G_{n}^{'}}

\subseteq {全てのグループ（群）たち}

G_{1}^{'} \times . . . \times G_{n}^{'}

= 当該ダイレクトプロダクト

{f_{1}, . . ., f_{n}}

f_{j} : G_{j} \to G_{j}^{'} \in {全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち}

f

: G_{1} \times . . . \times G_{n} \to G_{1}^{'} \times . . . \times G_{n}^{'}, (p_{1}, . . ., p_{n}) \mapsto (f_{1} (p_{1}), . . ., f_{n} (p_{n}))

//

ステートメント（言明）たち:

f \in {全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち}

2: 自然言語記述

任意のグループ（群）たち

G_{1}, . . ., G_{n}

、ダイレクトプロダクト

G_{1} \times . . . \times G_{n}

、以下を満たす任意のグループ（群）たち

G_{1}^{'}, . . ., G_{n}^{'}

、つまり、ある'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）

f_{j} : G_{j} \to G_{j}^{'}

がある、ダイレクトプロダクト

G_{1}^{'} \times . . . \times G_{n}^{'}

に対して、

f : G_{1} \times . . . \times G_{n} \to G_{1}^{'} \times . . . \times G_{n}^{'}, (p_{1}, . . ., p_{n}) \mapsto (f_{1} (p_{1}), . . ., f_{n} (p_{n}))

は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

3: 証明

f

はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、各

(p_{1}, . . ., p_{n}) \neq (p_{1}^{'}, . . ., p_{n}^{'}) \in G_{1} \times . . . \times G_{n}

に対して、ある

k

に対して

p_{k} \neq p_{k}^{'}

、そして、

f_{k} (p_{k}) \neq f_{k} (p_{k}^{'})

; 各

(p_{1}^{'}, . . ., p_{n}^{'}) \in G_{1}^{'} \times . . . \times G_{n}^{'}

に対して、以下を満たす

(p_{1}, . . ., p_{n}) \in G_{1} \times . . . \times G_{n}

、つまり、

(f_{1} (p_{1}), . . ., f_{n} (p_{n})) = (p_{1}^{'}, . . ., p_{n}^{'})

、がある、なぜなら、

f_{j}

はバイジェクティブ（全単射）である。

f

がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。

f ((1, . . ., 1)) = (f_{1} (1), . . ., f_{n} (1)) = (1, . . ., 1)

、それは

G_{1}^{'} \times . . . \times G_{n}^{'}

のアイデンティティ（単位）要素である。

f ((p_{1}, . . ., p_{n}) (p_{1}^{'}, . . ., p_{n}^{'})) = f ((p_{1} p_{1}^{'}, . . ., p_{n} p_{n}^{'})) = (f_{1} (p_{1} p_{1}^{'}), . . ., f_{n} (p_{n} p_{n}^{'})) = (f_{1} (p_{1}) f_{1} (p_{1}^{'}), . . ., f_{n} (p_{n}) f_{n} (p_{n}^{'})) = (f_{1} (p_{1}), . . ., f_{n} (p_{n})) (f_{1} (p_{1}^{'}), . . ., f_{n} (p_{n}^{'})) = f ((p_{1}, . . ., p_{n})) f ((p_{1}^{'}, . . ., p_{n}^{'}))

。

f ((p_{1}, . . ., p_{n})^{- 1}) = f ((p_{1}^{- 1}, . . ., p_{n}^{- 1})) = (f_{1} (p_{1}^{- 1}), . . ., f_{n} (p_{n}^{- 1})) = (f_{1} (p_{1})^{- 1}, . . ., f_{n} (p_{n})^{- 1}) = (f_{1} (p_{1}), . . ., f_{n} (p_{n}))^{- 1} = f ((p_{1}, . . ., p_{n}))^{- 1}

。したがって、

f

はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

f

は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

参考資料

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2024年6月2日日曜日

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