グループ（群）たちのファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）たちの任意のファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは任意の対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_1 \times ... \times G_n\): \(= \text{ 当該ダイレクトプロダクト }\)
\(\{G'_1, ..., G'_n\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G'_1 \times ... \times G'_n\): \(= \text{ 当該ダイレクトプロダクト }\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: G_j \to G'_j \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \times ... \times G_n \to G'_1 \times ... \times G'_n, (p_1, ..., p_n) \mapsto (f_1 (p_1), ..., f_n (p_n))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）たち\(G_1, ..., G_n\)、ダイレクトプロダクト\(G_1 \times ... \times G_n\)、以下を満たす任意のグループ（群）たち\(G'_1, ..., G'_n\)、つまり、ある'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f_j: G_j \to G'_j\)がある、ダイレクトプロダクト\(G'_1 \times ... \times G'_n\)に対して、\(f: G_1 \times ... \times G_n \to G'_1 \times ... \times G'_n, (p_1, ..., p_n) \mapsto (f_1 (p_1), ..., f_n (p_n))\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、各\((p_1, ..., p_n) \neq (p'_1, ..., p'_n) \in G_1 \times ... \times G_n\)に対して、ある\(k\)に対して\(p_k \neq p'_k\)、そして、\(f_k (p_k) \neq f_k (p'_k)\); 各\((p'_1, ..., p'_n) \in G'_1 \times ... \times G'_n\)に対して、以下を満たす\((p_1, ..., p_n) \in G_1 \times ... \times G_n\)、つまり、\((f_1 (p_1), ..., f_n (p_n)) = (p'_1, ..., p'_n)\)、がある、なぜなら、\(f_j\)はバイジェクティブ（全単射）である。
\(f\)がグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。\(f ((1, ..., 1)) = (f_1 (1), ..., f_n (1)) = (1, ..., 1)\)、それは\(G'_1 \times ... \times G'_n\)のアイデンティティ（単位）要素である。\(f ((p_1, ..., p_n) (p'_1, ..., p'_n)) = f ((p_1 p'_1, ..., p_n p'_n)) = (f_1 (p_1 p'_1), ..., f_n (p_n p'_n)) = (f_1 (p_1) f_1 (p'_1), ..., f_n (p_n) f_n (p'_n)) = (f_1 (p_1), ..., f_n (p_n)) (f_1 (p'_1), ..., f_n (p'_n)) = f ((p_1, ..., p_n)) f ((p'_1, ..., p'_n))\)。\(f ((p_1, ..., p_n)^{-1}) = f ((p_1^{-1}, ..., p_n^{-1})) = (f_1 (p_1^{-1}), ..., f_n (p_n^{-1})) = (f_1 (p_1)^{-1}, ..., f_n (p_n)^{-1}) = (f_1 (p_1), ..., f_n (p_n))^{-1} = f ((p_1, ..., p_n))^{-1}\)。したがって、\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
\(f\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
