2024年6月9日日曜日

624: マップ(写像)に対して、もしも、インバース(逆)方向マップ(写像)で元のマップ(写像)の後のそれがアイデンティティ(恒等写像)であるものがある場合、元のマップ(写像)はインジェクティブ(単射)である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

マップ(写像)に対して、もしも、インバース(逆)方向マップ(写像)で元のマップ(写像)の後のそれがアイデンティティ(恒等写像)であるものがある場合、元のマップ(写像)はインジェクティブ(単射)であることの記述/証明

話題


About: セット(集合)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のマップ(写像)に対して、もしも、任意のインバース(逆)方向マップ(写像)で元のマップ(写像)の後のそれがアイデンティティ(恒等写像)であるものがある場合、元のマップ(写像)はインジェクティブ(単射)であることの記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
S1: { 全てのセット(集合)たち }
S2: { 全てのセット(集合)たち }
f1: S1S2, { 全てのマップ(写像)たち }
//

ステートメント(言明)たち:
f2:S2S1(f2f1=id)

f1{ 全てのインジェクション(単射)たち }
//


2: 自然言語記述


任意のセット(集合)たちS1,S2に対して、任意のマップ(写像)f1:S1S2はインジェクティブ(単射)である、もしも、以下を満たすあるマップ(写像)f2:S2S1、つまり、f2f1=id、がある場合。


3: 注


当該インジェクティブ(単射)性を確認する1つの典型的な方法は、任意の2つの互いに異なるポイントたちが互いに異なるポイントたちへマップされることをチェックすることであるが、本命題の方法も役に立つ。

f1は必ずしもサージェクティブ(全射)ではない。1つの反例として、S1={1}S2={1,2}f1:11としよう。以下を満たすf2:11,21、つまり、f2f1=id、がある、しかし、f1はサージェクティブ(全射)ではない。


4: 証明


任意のそうしたf2があると仮定しよう。

f1はインジェクティブ(単射)ではなかったと仮定しよう。

以下を満たす何らかの2ポイントたちp1,p2S1、つまり、p1p2およびf1(p1)=f1(p2)、があることになる。すると、f2f1(p1)=f2f1(p2)、なぜなら、f2は同一ポイントf1(p1)=f1(p2)を異なるポイントたちへマップできない。しかし、p1=id(p1)=f2f1(p1)=f2f1(p2)=id(p2)=p2p1p2に反する矛盾。

したがって、f1はインジェクティブ(単射)である。


参考資料


<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>