マップ（写像）に対して、もしも、インバース（逆）方向マップ（写像）で元のマップ（写像）の後のそれがアイデンティティ（恒等写像）であるものがある場合、元のマップ（写像）はインジェクティブ（単射）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、もしも、任意のインバース（逆）方向マップ（写像）で元のマップ（写像）の後のそれがアイデンティティ（恒等写像）であるものがある場合、元のマップ（写像）はインジェクティブ（単射）であることの記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f_1\): \(S_1 \to S_2\), \(\in \{\text{ 全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f_2: S_2 \to S_1 (f_2 \circ f_1 = id)\)
\(\implies\)
\(f_1 \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)に対して、任意のマップ（写像）\(f_1: S_1 \to S_2\)はインジェクティブ（単射）である、もしも、以下を満たすあるマップ（写像）\(f_2: S_2 \to S_1\)、つまり、\(f_2 \circ f_1 = id\)、がある場合。
3: 注
当該インジェクティブ（単射）性を確認する1つの典型的な方法は、任意の2つの互いに異なるポイントたちが互いに異なるポイントたちへマップされることをチェックすることであるが、本命題の方法も役に立つ。
\(f_1\)は必ずしもサージェクティブ（全射）ではない。1つの反例として、\(S_1 = \{1\}\)、\(S_2 = \{1, 2\}\)、\(f_1: 1 \mapsto 1\)としよう。以下を満たす\(f_2: 1 \mapsto 1, 2 \mapsto 1\)、つまり、\(f_2 \circ f_1 = id\)、がある、しかし、\(f_1\)はサージェクティブ（全射）ではない。
4: 証明
任意のそうした\(f_2\)があると仮定しよう。
\(f_1\)はインジェクティブ（単射）ではなかったと仮定しよう。
以下を満たす何らかの2ポイントたち\(p_1, p_2 \in S_1\)、つまり、\(p_1 \neq p_2\)および\(f_1 (p_1) = f_1 (p_2)\)、があることになる。すると、\(f_2 \circ f_1 (p_1) = f_2 \circ f_1 (p_2)\)、なぜなら、\(f_2\)は同一ポイント\(f_1 (p_1) = f_1 (p_2)\)を異なるポイントたちへマップできない。しかし、\(p_1 = id (p_1) = f_2 \circ f_1 (p_1) = f_2 \circ f_1 (p_2) = id (p_2) = p_2\)、\(p_1 \neq p_2\)に反する矛盾。
したがって、\(f_1\)はインジェクティブ（単射）である。
