2024年6月9日日曜日

623: シンプリシャルコンプレックスのバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割）

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シンプリシャルコンプレックスのバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割）の定義

話題


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この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、シンプリシャルコンプレックスのバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }
C: ∈{V 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }
VertSdC: ={bary(S)|S∈C}
∗SdC: ={[S]|S⊆VertSdC で以下を満たすもの、つまり、 S∈{VertSdC の全てのリニアリーオーダードサブセット（線形順序部分集合）たち }}
//

コンディションたち:
//

"S∈{VertSdC の全てのリニアリーオーダードサブセット（線形順序部分集合）たち }"は、アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義内の"注"内に記述されているパーシャルオーダー（半順序）に基づいている: VertSdCはパーシャリーオーダード（半順序付き）であり、あるサブセット（部分集合）はリニアリーオーダード（線形順序付き）であるかもしれないしないかもしれない; リニアリーオーダード（線形順序付き）であるというのが意味するのは、当該サブセット（部分集合）は、あるアファインシンプレックスのフェイスたちのバリセンター（頂点）たちのあるアセンディング（昇順）シーケンス（列）のあるサブシーケンスであるということ。

2: 自然言語記述


任意のリアル（実）ベクトルたちスペースV、V上の任意のシンプリシャルコンプレックスCに対して、VertSdC:={bary(S)|S∈C}およびSdC:={[S]|S⊆VertSdC で以下を満たすもの、つまり、 S∈{VertSdC の全てのリニアリーオーダードサブセット（線形順序部分集合）たち }}

3: 注


SdCは本当にシンプリシャルコンプレックスである: 任意のアファインシンプレックス（単体）、そのフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題によって、[S]は本当にアファインシンプレックスである; 各[S]に対して、その各フェイスはSdC内に包含されている、なぜなら、Sの各サブセット（部分集合）はリニアリーオーダード（線形順序付き）である; 各[S1],[S2]に対して、[S1]∩[S2]は[S1∩S2]である、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックスの任意の要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちの任意のサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちの空でないインターセクション（共通集合）は、当該サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスであるという命題によって、したがって、[S1]のあるフェイスおよび[S2]のあるフェイスである。

参考資料
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