ベクトルたちスペース（空間）内のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちのリニア（線形）コンビネーションであり、非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）内の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、任意の派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちの任意のリニア（線形）コンビネーションであり、任意の非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\((v_1, v_2, ...)\): \(\subseteq V\), \(\in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\)
\((w_1, w_2, ...)\): \(\subseteq V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall k (w_k = \sum_{j = \in \{1, ..., k\}} r_k^j v_j \text{ 、ここで、 } r_k^j \in F \land r_k^k \neq 0)\)
\(\implies\)
\((w_1, w_2, ...) \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\).
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース\(V\)、\(V\)内の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）\((v_1, v_2, ...)\)に対して、\(V\)内の以下を満たす任意のシーケンス（列）\((w_1, w_2, ...)\)、つまり、各\(k\)に対して、\(w_k = \sum_{j = \in \{1, ..., k\}} r_k^j v_j\)、ここで、\(r_k^j \in F \land r_k^k \neq 0\)、はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
3: 証明
\(\{w_1, w_2, ...\}\)の各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S\)に対して、最大インデックス要素\(w_m \in S\)がある。\(S' := \{w_1, w_2, ..., w_m\}\)のことを考えよう。\(S \subseteq S'\)。
\(\sum_{k \in \{1, ..., m\}} s^k w_k = 0\)、ここで、\(s^k \in F\)、のことを考えよう。もしも、各\(k \in \{1, ..., m\}\)に対して、\(s^k = 0\)を証明したら、本命題は証明されることになる、なぜなら、\(S\)に対して、それは、各\(w_k \notin S\)に対して\(s^k = 0\)である特殊ケースであり、もしも、一般的ケースにおいて各\(k \in \{1, ..., m\}\)に対して\(s^k = 0\)であれば、特殊ケースにおいてはなおさらそうであるから。
\(\sum_{k \in \{1, ..., m\}} s^k w_k = \sum_{k \in \{1, ..., m\}} s^k \sum_{j = \in \{1, ..., k\}} r_k^j v_j = s^1 (r_1^1 v_1) + s^2 (r_2^1 v_1 + r_2^2 v_2) + ... + s^m (r_m^1 v_1 + ... + r_m^m v_m) = (s^1 r_1^1 + s^2 r_2^1 + ... + s^m r_m^1) v_1 + (s^2 r_2^2 + s^3 r_3^2 + ... + s^m r_m^2) v_2 + ... + (s^{m - 1} r_{m - 1}^{m - 1} + s^m r_m^{m - 1}) v_{m - 1} + s^m r_m^m v_m = 0\)。
\(v_j\)の各係数は\(0\)であるから、\(s^m r_m^m = 0\)、しかし、\(r_m^m \neq 0\)であるから、\(s^m = 0\); \(s^{m - 1} r_{m - 1}^{m - 1} + s^m r_m^{m - 1} = s^{m - 1} r_{m - 1}^{m - 1} + 0 r_m^{m - 1} = 0\)、それが含意するのは、\(s^{m - 1} r_{m - 1}^{m - 1} = 0\)、しかし、\(r_{m - 1}^{m - 1} \neq 0\)であるから、\(s^{m - 1} = 0\); ...; \(s^2 r_2^2 + s^3 r_3^2 + ... + s^m r_m^2 = s^2 r_2^2 + 0 r_3^2 + ... + 0 r_m^2 = 0\)、それが含意するのは、\(s^2 r_2^2 = 0\)、しかし、\(r_2^2 \neq 0\)であるから、\(s^2 = 0\); \(s^1 r_1^1 + s^2 r_2^1 + ... + s^m r_m^1 = s^1 r_1^1 + 0 r_2^1 + ... + 0 r_m^1 = 0\)、それが含意するのは、\(s^1 r_1^1 = 0\)、しかし、\(r_1^1 \neq 0\)であるから、\(s^1 = 0\)。
