2024年6月9日日曜日

625: ベクトルたちスペース（空間）内のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちのリニア（線形）コンビネーションであり、非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）である

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ベクトルたちスペース（空間）内のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちのリニア（線形）コンビネーションであり、非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）内の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、任意の派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちの任意のリニア（線形）コンビネーションであり、任意の非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
(v1,v2,...): ⊆V, ∈{V の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }
(w1,w2,...): ⊆V
//

ステートメント（言明）たち:
∀k(wk=∑j=∈{1,...,k}rkjvj 、ここで、 rkj∈F∧rkk≠0)
⟹
(w1,w2,...)∈{V の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }.
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペースV、V内の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）(v1,v2,...)に対して、V内の以下を満たす任意のシーケンス（列）(w1,w2,...)、つまり、各kに対して、wk=∑j=∈{1,...,k}rkjvj、ここで、rkj∈F∧rkk≠0、はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

3: 証明


{w1,w2,...}の各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）Sに対して、最大インデックス要素wm∈Sがある。S′:={w1,w2,...,wm}のことを考えよう。S⊆S′。

∑k∈{1,...,m}skwk=0、ここで、sk∈F、のことを考えよう。もしも、各k∈{1,...,m}に対して、sk=0を証明したら、本命題は証明されることになる、なぜなら、Sに対して、それは、各wk∉Sに対してsk=0である特殊ケースであり、もしも、一般的ケースにおいて各k∈{1,...,m}に対してsk=0であれば、特殊ケースにおいてはなおさらそうであるから。

∑k∈{1,...,m}skwk=∑k∈{1,...,m}sk∑j=∈{1,...,k}rkjvj=s1(r11v1)+s2(r21v1+r22v2)+...+sm(rm1v1+...+rmmvm)=(s1r11+s2r21+...+smrm1)v1+(s2r22+s3r32+...+smrm2)v2+...+(sm−1rm−1m−1+smrmm−1)vm−1+smrmmvm=0。

vjの各係数は0であるから、smrmm=0、しかし、rmm≠0であるから、sm=0; sm−1rm−1m−1+smrmm−1=sm−1rm−1m−1+0rmm−1=0、それが含意するのは、sm−1rm−1m−1=0、しかし、rm−1m−1≠0であるから、sm−1=0; ...; s2r22+s3r32+...+smrm2=s2r22+0r32+...+0rm2=0、それが含意するのは、s2r22=0、しかし、r22≠0であるから、s2=0; s1r11+s2r21+...+smrm1=s1r11+0r21+...+0rm1=0、それが含意するのは、s1r11=0、しかし、r11≠0であるから、s1=0。

参考資料
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