620: シンプリシャルコンプレックスに対して、2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスである

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シンプリシャルコンプレックスに対して、2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意の2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は当該シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}$
$C$: $\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$S_1$: $=[p_{1,0},...,p_{1,n_1}]$, $\in C$
$S_2$: $=[p_{2,0},...,p_{2,n_2}]$, $\in C$
$\{p_0,...,p_n\}$: $=\{p_{1,0},...,p_{1,n_1}\}\cap \{p_{2,0},...,p_{2,n_2}\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$S_1\cap S_2=[p_0,...,p_n]$
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース$V$、$V$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C$、任意のシンプレックスたち$S_1=[p_{1,0},...,p_{1,n_1}],S_2=[p_{2,0},...,p_{2,n_2}]\in C$に対して、$S_1\cap S_2=[p_0,...,p_n]$、ここで、$\{p_0,...,p_n\}=\{p_{1,0},...,p_{1,n_1}\}\cap \{p_{2,0},...,p_{2,n_2}\}$。

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3: 証明

$S_1\cap S_2$は$S_1$のあるフェイスおよび$S_2$のあるフェイスである。任意のフェイスは$C$内のシンプレックスであるから、$S_1\cap S_2$は$C$内のシンプレックスである。

$S_1\cap S_2$の各バーテックス（頂点）は$S_1$のバーテックスであり、$S_2$のバーテックスである、フェイスの定義によって。したがって、$Vert{S}_1\cap S_2\subseteq \{p_0,...,p_n\}$。それは、$S_1\cap S_2\subseteq [p_0,...,p_n]$を含意する。

$[p_0,...,p_n]\subseteq S_1\cap S_2$を証明しよう。各$p\in [p_0,...,p_n]$に対して、$p=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j$、ここで、$\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1$および$0\le t^j$。$p\in S_1\cap S_2$、なぜなら、$p$は$\sum _{j\in \{0,...,n_1\}}{t}^j{p}_{1,j}$の特殊ケースであり、$\sum _{j\in \{0,...,n_2\}}{t}^j{p}_{2,j}$の特殊ケースである。

したがって、$S_1\cap S_2=[p_0,...,p_n]$。

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参考資料

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