621: アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）

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アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のバリセンター（重心）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\text{ 当該アファインシンプレックス }$
$S$: $=([p_{{\sigma }_0}],[p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}],...,[p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}])$, $\in \{[p_0,...,p_n]\text{ のフェイスたちの全てのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たち }\}$
$\ast B$: $=(bary([p_{{\sigma }_0}]),bary([p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}]),...,bary([p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}]))$
//

コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース$V$、$V$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$、アファインシンプレックス$[p_0,...,p_n]$、$[p_0,...,p_n]$のフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）$S:=([p_{{\sigma }_0}],[p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}],...,[p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}])$に対して、$B:=(bary([p_{{\sigma }_0}]),bary([p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}]),...,bary([p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}]))$

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3: 注

"バリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）"が意味するのは、当該バリセンター（重心）たちのセット（集合）にオーダー（順序）が与えられた、当該フェイスたち（それらのバリセンター（重心）たちである、その（バリセンター（重心）たちのセット（集合）の）要素たちは）のセット（集合）のオーダー（順序）に基づいて、ということ。

それらオーダー（順序）たちによって、当該シンプリシャルコンプレックス内の全てのシンプレックスたちの全てのバリセンター（重心）たちのセット（集合）$VertSdC$は、パーシャリーオーダード（半順序付けられた）である: 1) イリフレクシブ（反射的でない）: $\mathrm{\forall }b\in VertSdC(\mathrm{\neg }b<b)$; 2) トランジティブ（推移的）: $\mathrm{\forall }{b}_1,b_2,b_3\in VertSdC\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{b}_1<b_2\wedge b_2<b_3(b_1<b_3)$、なぜなら、$b_1<b_2$は、$b_1$および$b_2$が$S_1$および$S_2$のバリセンター（重心）たちで、$S_1$は$S_2$のフェイスであることを意味し、$b_2<b_3$は、$b_2$および$b_3$が$S_2$および$S_3$のバリセンター（重心）たちで、$S_2$は$S_3$のフェイスであることを意味し、それは、$S_1$は$S_3$のフェイスであることを意味し、したがって、$b_1<b_3$。なぜ、当該セット（集合）が"$VertSdC$"のように記されているか、という理由は、シンプリシャルコンプレックス（$C$のバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割）と呼ばれる）$SdC$が、当該セット（集合）をバーテックス（頂点）たちセット（集合）として作成されるから。

$\{bary([p_{{\sigma }_0}]),bary([p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}]),...,bary([p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}])\}$はアファインインディペンデント（独立）である、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのフェイスたちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であるという命題によって。したがって、各アファインシンプレックスのフェイスたちのバリセンター（重心）たちの各アセンディング（昇順）シーケンス（列）またはその各サブシーケンスは、あるアファインシンプレックスを決定する。

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参考資料

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