モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( M\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのモジュール（加群）たち }\}\)
\(*S\): \(\subseteq M\)
//
コンディションたち:
\(\forall p \in M (\exists S' \in \{S \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}, \exists r^j \in R (p = \sum_{b_j \in S} r^j b_j))\)
//
\(S\)は\(B\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）でなければならない、なぜなら、そうでなければ、\(p = \sum_{b_j \in S} r^j b_j\)は、\(M\)にノルムが備わっていないのに、意味をなさないだろう: インフィニット（無限）シリーズ（級数）のコンバージェンス（収束）の定義はノルムを要求する。
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)、\(M\)上方の任意のモジュール（加群）\(R\)、以下を満たす任意の（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）サブセット（部分集合）\(S \subseteq M\)、つまり、\(M\)の各要素は、\(S\)のいくつか（ファイナイト（有限）数）の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）である
3: 注
任意のモジュール（加群）はあるジェネレイター（作成元たち）を持つ、なぜなら、モジュール（加群）自体がジェネレイター（作成元たち）である。
各ベーシス（基底）はジェネレイター（作成元たち）である、しかし、あるジェネレイター（作成元たち）は必ずしもベーシス（基底）ではない、なぜなら、当該ジェネレイター（作成元たち）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではないかもしれない。
さらには、あるジェネレイター（作成元たち）は何のベーシス（基底）にもリストリクト（制限する）できないかもしれない: 例えば、\(R := \mathbb{Z}\); \(M := \mathbb{Z} / (2 \mathbb{Z})\)で、オペレーションたち\([z_1] + [z_2] = [z_1 + z_2]\)、ウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、\([z_1 + 2 k + z_2 + 2 l] = [z_1 + z_2 + 2 (k + l)] = [z_1 + z_2]\)、および\(z_1 [z_2] = [z_1 z_2]\)、ウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、\([z_1 (z_2 + 2 k)] = [z_1 z_2 + 2 z_1 k] = [z_1 z_2]\)、を持つもの: \(M = \{[0], [1]\}\)、としよう。\(M\)は本当にモジュール（加群）である: 1) \([m_1] + [m_2] = [m_1 + m_2] \in M\); 2) \([m_1] + [m_2] = [m_1 + m_2] = [m_2 + m_1] = [m_2] + [m_1]\); 3) \(([m_1] + [m_2]) + [m_3] = [m_1 + m_2] + [m_3] = [m_1 + m_2 + m_3] = [m_1] + [m_2 + m_3] = [m_1] + ([m_2] + [m_3])\); 4) \([m] + [0] = [m + 0] = [m]\); 5) \([1] + [1] = [1 + 1] = [2] = [0]\)および\([0] + [0] = [0 + 0] = [0]\); 6) \(r [m] = [r m] \in M\); 7) \((r_1 + r_2) [m] = [(r_1 + r_2) m] = [r_1 m + r_2 m] = [r_1 m] + [r_2 m] = r_1 [m] + r_2 [m]\); 8) \(r ([m_1] + [m_2]) = r [m_1 + m_2] = [r (m_1 + m_2)] = [r m_1 + r m_2] = [r m_1] + [r m_2] = r [m_1] + r [m_2]\); 9) \((r_1 r_2) [m] = [(r_1 r_2) m] = [r_1 (r_2 m)] = r_1 [r_2 m] = r_1 (r_2 [m])\); 10) \(1 [m] = [1 m] = [m]\)。すると、\(\{[1]\}\)はジェネレイター（作成元たち）である、なぜなら、\([0] = 2 [1] = [2] = [0]\)および\([1] = 1 [1]\)、しかし、当該ジェネレイター（作成元たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではない、なぜなら、\(2 [1] = [0]\)、したがって、ベーシス（基底）ではなく、何のベーシス（基底）にリストリクト（制限する）もできない。
任意のベクトルたちスペースはモジュール（加群）であるので、'ベクトルたちスペース（空間）のジェネレイター（生成元たち）'はモジュール（加群）のジェネレイター（生成元たち）に他ならない。
