2024年6月16日日曜日

627: モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）

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モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義

話題


About: モジュール（加群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
M: ∈{R 上方の全てのモジュール（加群）たち }
∗S: ⊆M
//

コンディションたち:
∀p∈M(∃S′∈{S の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち },∃rj∈R(p=∑bj∈Srjbj))
//

SはBのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）でなければならない、なぜなら、そうでなければ、p=∑bj∈Srjbjは、Mにノルムが備わっていないのに、意味をなさないだろう: インフィニット（無限）シリーズ（級数）のコンバージェンス（収束）の定義はノルムを要求する。

2: 自然言語記述


任意のリング（環）R、M上方の任意のモジュール（加群）R、以下を満たす任意の（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）サブセット（部分集合）S⊆M、つまり、Mの各要素は、Sのいくつか（ファイナイト（有限）数）の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）である

3: 注


任意のモジュール（加群）はあるジェネレイター（作成元たち）を持つ、なぜなら、モジュール（加群）自体がジェネレイター（作成元たち）である。

各ベーシス（基底）はジェネレイター（作成元たち）である、しかし、あるジェネレイター（作成元たち）は必ずしもベーシス（基底）ではない、なぜなら、当該ジェネレイター（作成元たち）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではないかもしれない。

さらには、あるジェネレイター（作成元たち）は何のベーシス（基底）にもリストリクト（制限する）できないかもしれない: 例えば、R:=Z; M:=Z/(2Z)で、オペレーションたち[z1]+[z2]=[z1+z2]、ウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、[z1+2k+z2+2l]=[z1+z2+2(k+l)]=[z1+z2]、およびz1[z2]=[z1z2]、ウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、[z1(z2+2k)]=[z1z2+2z1k]=[z1z2]、を持つもの: M={[0],[1]}、としよう。Mは本当にモジュール（加群）である: 1) [m1]+[m2]=[m1+m2]∈M; 2) [m1]+[m2]=[m1+m2]=[m2+m1]=[m2]+[m1]; 3) ([m1]+[m2])+[m3]=[m1+m2]+[m3]=[m1+m2+m3]=[m1]+[m2+m3]=[m1]+([m2]+[m3]); 4) [m]+[0]=[m+0]=[m]; 5) [1]+[1]=[1+1]=[2]=[0]および[0]+[0]=[0+0]=[0]; 6) r[m]=[rm]∈M; 7) (r1+r2)[m]=[(r1+r2)m]=[r1m+r2m]=[r1m]+[r2m]=r1[m]+r2[m]; 8) r([m1]+[m2])=r[m1+m2]=[r(m1+m2)]=[rm1+rm2]=[rm1]+[rm2]=r[m1]+r[m2]; 9) (r1r2)[m]=[(r1r2)m]=[r1(r2m)]=r1[r2m]=r1(r2[m]); 10) 1[m]=[1m]=[m]。すると、{[1]}はジェネレイター（作成元たち）である、なぜなら、[0]=2[1]=[2]=[0]および[1]=1[1]、しかし、当該ジェネレイター（作成元たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではない、なぜなら、2[1]=[0]、したがって、ベーシス（基底）ではなく、何のベーシス（基底）にリストリクト（制限する）もできない。

任意のベクトルたちスペースはモジュール（加群）であるので、'ベクトルたちスペース（空間）のジェネレイター（生成元たち）'はモジュール（加群）のジェネレイター（生成元たち）に他ならない。

参考資料
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