2024年6月23日日曜日

641: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たち

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コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
S: ⊆R
S′: ={d′∈R|∀p∈S(∃q∈R(p=qd′))}
∗gcd(S): ={d∈S′|∀d′∈S′(∃q∈R(d=qd′))}
//

コンディションたち:
//

S′は、"Sの共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合）"と呼ばれる。

2: 自然言語記述


任意のリング（環）R、Rの任意のサブセット（部分集合）S、Sの全ての共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合）S′:={d′∈R|∀p∈S(∃q∈R(p=qd′))}に対して、gcd(S):={d∈S′|∀d′∈S′(∃q∈R(d=qd′))}

3: 注


本定義は、Rが何のオーダー（順序）を持つことも要求しない: "最大"は何のオーダー（順序）に準拠したものでもない。

S=∅は除外されていない、それが役に立つとは特に想定されていないが。

S=∅である時は、空虚に、S′=R、そして、gcd(S)={0}、なぜなら、各d′∈S′に対して0=0d′、そして、d′=0∈S′があるから、0=q0が要求される。

これ以降、S≠∅だと仮定しよう。

常に、1∈S′: ∀p∈S(p=p1)。

gcd(S)は空かもしれないし複数要素たちを持つかもしれない。

もしも、S={0}である場合、そしてその場合に限って、0∈gcd(S): もしも、S={0}である場合、S′=R、なぜなら、各p∈Rに対して、0=0p、したがって、0∈S′および各d′∈S′に対して0=0d′、したがって、0∈gcd(S); もしも、0∈gcd(S)である場合、0∈S′、そして、各p∈Sに対してp=q0=0。

もしも、0∈gcd(S)である場合、そしてその場合に限って、gcd(S)={0}: もしも、0∈gcd(S)である場合、0∈S′および各q∈Rに対して0=q0であるから、0のみがgcd(S)の中にいられる、したがって、gcd(S)={0}; もしも、gcd(S)={0}である場合、明らかに、0∈gcd(S)。

本定義は、'インテジャー（整数）たちのサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）'へ厳密には特殊化しない: Zの{2,6}の、本定義による、最大共通ディバイザー（因子）たちは、{−2,2}である（2=(−1)(−2); 6=(−3)(−2); −2=(−1)2）、その一方で、{2,6}の、'インテジャー（整数）たちのサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）'による、最大共通ディバイザー（因子）は、2である。

参考資料
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