コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( S\): \(\subseteq R\)
\( S'\): \(= \{d' \in R \vert \forall p \in S (\exists q \in R (p = q d'))\}\)
\(*gcd (S)\): \(= \{d \in S' \vert \forall d' \in S' (\exists q \in R (d = q d'))\}\)
//
コンディションたち:
//
\(S'\)は、"\(S\)の共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合）"と呼ばれる。
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)、\(R\)の任意のサブセット（部分集合）\(S\)、\(S\)の全ての共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合）\(S' := \{d' \in R \vert \forall p \in S (\exists q \in R (p = q d'))\}\)に対して、\(gcd (S) := \{d \in S' \vert \forall d' \in S' (\exists q \in R (d = q d'))\}\)
3: 注
本定義は、\(R\)が何のオーダー（順序）を持つことも要求しない: "最大"は何のオーダー（順序）に準拠したものでもない。
\(S = \emptyset\)は除外されていない、それが役に立つとは特に想定されていないが。
\(S = \emptyset\)である時は、空虚に、\(S' = R\)、そして、\(gcd (S) = \{0\}\)、なぜなら、各\(d' \in S'\)に対して\(0 = 0 d'\)、そして、\(d' = 0 \in S'\)があるから、\(0 = q 0\)が要求される。
これ以降、\(S \neq \emptyset\)だと仮定しよう。
常に、\(1 \in S'\): \(\forall p \in S (p = p 1)\)。
\(gcd (S)\)は空かもしれないし複数要素たちを持つかもしれない。
もしも、\(S = \{0\}\)である場合、そしてその場合に限って、\(0 \in gcd (S)\): もしも、\(S = \{0\}\)である場合、\(S' = R\)、なぜなら、各\(p \in R\)に対して、\(0 = 0 p\)、したがって、\(0 \in S'\)および各\(d' \in S'\)に対して\(0 = 0 d'\)、したがって、\(0 \in gcd (S)\); もしも、\(0 \in gcd (S)\)である場合、\(0 \in S'\)、そして、各\(p \in S\)に対して\(p = q 0 = 0\)。
もしも、\(0 \in gcd (S)\)である場合、そしてその場合に限って、\(gcd (S) = \{0\}\): もしも、\(0 \in gcd (S)\)である場合、\(0 \in S'\)および各\(q \in R\)に対して\(0 = q 0\)であるから、\(0\)のみが\(gcd (S)\)の中にいられる、したがって、\(gcd (S) = \{0\}\); もしも、\(gcd (S) = \{0\}\)である場合、明らかに、\(0 \in gcd (S)\)。
本定義は、'インテジャー（整数）たちのサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）'へ厳密には特殊化しない: \(\mathbb{Z}\)の\(\{2, 6\}\)の、本定義による、最大共通ディバイザー（因子）たちは、\(\{-2, 2\}\)である（\(2 = (-1) (-2)\); \(6 = (-3) (-2)\); \(-2 = (-1) 2\)）、その一方で、\(\{2, 6\}\)の、'インテジャー（整数）たちのサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）'による、最大共通ディバイザー（因子）は、\(2\)である。
