2024年6月23日日曜日

642: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たち

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コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
S: ⊆R
S′: ={m′∈R|∀p∈S(∃q∈R(m=qp))}
∗lcm(S): ={m∈S′|∀m′∈S′(∃q∈R(m′=qm))}
//

コンディションたち:
//

S′は、"Sの共通マルチプル（倍）たちのセット（集合）"と呼ばれる。

2: 自然言語記述


任意のリング（環）、Rの任意のサブセット（部分集合）S、Sの全ての共通マルチプル（倍）たちのセット（集合）S′:={m′∈R|∀p∈S(∃q∈R(m=qp))}に対して、lcm(S):={m∈S′|∀m′∈S′(∃q∈R(m′=qm))}

3: 注


本定義は、Rが何のオーダー（順序）を持つことも要求しない: "最小"は何のオーダー（順序）に準拠したものでもない。

S=∅は除外されていない、それが役に立つとは特に想定されていないが。

S=∅である時、空虚に、S′=R、そして、1∈lcm(S)、なぜなら、各d′∈S′に対してd′=d′1; もしも、0∈lcm(S)である場合、lcm(S)={0}、なぜなら、d′=q0=0、それは、1∈lcm(S)に矛盾しない、なぜなら、それが意味するのは1=0であり、それが意味するのは、R={0=1}; lcm(S)が他に何たちを持つかはRに依存する: dがユニットである時は、d′=d′d−1d、したがって、d∈lcm(S); しかし、そうでなければ、以下を満たすあるq∈R、つまり、各d′∈R′に対してd′=qd、があるかどうかは明らかでない。

これ以降、S≠∅であると仮定しよう。

常に、0∈S′: 各p∈Sに対して0=0p。

しかし、0∈lcm(S)である時は、lcm(S)={0}: 各m′∈S′に対してm′=0=q0、したがって、S′={0}。

Sはファイナイト（有限）である時、∏pj∈Spj∈S′: ∀pk∈S(∏pj∈Spj=(∏pj∈S∖{pk}pj)pk)。

lcm(S)は空かもしれないし複数要素たちを持つかもしれない。

もしも、0∈Sである場合、S′={0}: 各q∈Rに対して0=q0。逆は必ずしも真ではない: 1つの反例として、R=Z/(6Z)およびS={[2],[3]}としよう、すると、S′={[0]}: [2]のマルチプル（倍）たちは、[2∗0]=[0],[2∗1]=[2],[2∗2]=[4],[2∗3]=[6]=[0],[2∗4]=[8]=[2],[2∗5]=[10]=[4]で、[3]のマルチプル（倍）たちは、[3∗0]=[0],[3∗1]=[3],[3∗2]=[6]=[0],[3∗3]=[9]=[3],[3∗4]=[12]=[0],[3∗5]=[15]=[3]。

もしも、S′={0}である場合、そしてその場合に限って、lcm(S)={0}: もしも、S′={0}である場合、0=00、したがって、0∈lcm(S)、その一方で、lcm(S)はS′のサブセット（部分集合）である; もしも、lcm(S)={0}である場合、{0}⊆S′、しかし、各q∈Rに対して0=q0であるから、0だけがS′の中にいることができる。

本定義は、'インテジャー（整数）たちのサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）'へ厳密には特殊化しない: Zの{2,3}の、本定義による、最小共通マルチプル（倍）たちは、{−6,6}である（−6=(−3)2; −6=(−2)3; 6=(−1)(−6)）、その一方で、{2,3}の、'インテジャー（整数）たちのサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）'による、最小共通マルチプル（倍）は、6である。

参考資料
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