629: リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）

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リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$p$: $\in R$
$\ast I_l(p)$: $=Rp$, $\in \{R\text{ の全てのレフトアイディアル（左イデアル）たち }\}$
$\ast I_r(p)$: $=pR$, $\in \{R\text{ の全てのライトアイディアル（右イデアル）たち }\}$
$\ast I_b(p)$: $=\{\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}p{p}_{r,j})|k\in \mathbb{N},p_{l,j}\in R\wedge p_{r,j}\in R\}$, $\in \{R\text{ の全てのボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち }\}$
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コンディションたち:
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$I_l(p)$は、"$p$によるレフトプリンシパルアイディアル（左プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; $I_r(p)$は、"$p$によるライトプリンシパルアイディアル（右プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; $I_b(p)$は、"$p$によるボースサイデッドプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"または"$p$によるプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"と呼ばれる。

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2: 自然言語記述

任意のリング（環）$R$、任意の要素$p\in R$に対して、$I_l(p):=Rp$は、"$p$によるレフトプリンシパルアイディアル（左プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; $I_r(p):=pR$は、"$p$によるライトプリンシパルアイディアル（右プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; $I_b(p):=\{\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}p{p}_{r,j})|k\in \mathbb{N},p_{l,j}\in R\wedge p_{r,j}\in R\}$は、"$p$によるボースサイデッドプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"または"$p$によるプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"と呼ばれる

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3: 注

$I_l(p)$は本当にレフトアイディアル（左イデアル）である: $p_{1}p+p_{2}p=(p_1+p_2)p\in I_l(p)$; $0=0p\in I_l(p)$; $-(p_{1}p)=(-p_1)p\in I_l(p)$; $RRp=Rp$。

$I_r(p)$は本当にライトアイディアル（右イデアル）である: $p{p}_1+p{p}_2=p(p_1+p_2)\in I_r(p)$; $0=p0\in I_r(p)$; $-(p{p}_1)=p(-p_1)\in I_r(p)$; $pRR=pR$。

$I_b(p)$は本当にボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である: $\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}p{p}_{r,j})+\sum _{j\in \{1,...,k^{\prime }\}}(p_{l,j}^{\prime }p{p}_{r,j}^{\prime })\in I_b(p)$; $0=0p0\in I_b(p)$; $-(\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}p{p}_{r,j}))=\sum _{j\in \{1,...,k\}}((-p_{l,j})p{p}_{r,j})\in I_r(p)$; $R{I}_b(p)=I_b(p)R=I_b(p)$。

$I_b(p)$を$RpR$として定義することはできない、なぜなら、$p_{l,1}p{p}_{r,1}+p_{l,1}^{\prime }p{p}_{r,1}^{\prime }$は必ずしも$RpR$の中にない。

$R$がコミュータティブ（可換）である時は、各レフトプリンシパルアイディアル（左プリンシパルイデアル）またはライトプリンシパルアイディアル（右プリンシパルイデアル）は、ボースサイデッドプリンシパルアイディアル（両側イデアル）である、なぜなら、例えば、$I_l(p)\subseteq I_b(p)$は明らかであるところ、各$\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}p{p}_{r,j})$に対して、$=\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}{p}_{r,j}p)=\sum _{j\in \{1,...,k\}}(p_{l,j}{p}_{r,j})p\in Rp$、したがって、$I_b(p)\subseteq I_l(p)$。

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参考資料

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