リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( p\): \(\in R\)
\(*I_l (p) \): \(= R p\), \(\in \{R \text{ の全てのレフトアイディアル（左イデアル）たち }\}\)
\(*I_r (p)\): \(= p R\), \(\in \{R \text{ の全てのライトアイディアル（右イデアル）たち }\}\)
\(*I_b (p)\): \(= \{\sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p p_{r, j}) \vert k \in \mathbb{N}, p_{l, j} \in R \land p_{r, j} \in R\}\), \(\in \{R \text{ の全てのボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
\(I_l (p)\)は、"\(p\)によるレフトプリンシパルアイディアル（左プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; \(I_r (p)\)は、"\(p\)によるライトプリンシパルアイディアル（右プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; \(I_b (p)\)は、"\(p\)によるボースサイデッドプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"または"\(p\)によるプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"と呼ばれる。
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)、任意の要素\(p \in R\)に対して、\(I_l (p) := R p\)は、"\(p\)によるレフトプリンシパルアイディアル（左プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; \(I_r (p) := p R\)は、"\(p\)によるライトプリンシパルアイディアル（右プリンシパルイデアル）"と呼ばれる; \(I_b (p) := \{\sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p p_{r, j}) \vert k \in \mathbb{N}, p_{l, j} \in R \land p_{r, j} \in R\}\)は、"\(p\)によるボースサイデッドプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"または"\(p\)によるプリンシパルアイディアル（両側イデアル）"と呼ばれる
3: 注
\(I_l (p)\)は本当にレフトアイディアル（左イデアル）である: \(p_1 p + p_2 p = (p_1 + p_2) p \in I_l (p)\); \(0 = 0 p \in I_l (p)\); \(- (p_1 p) = (- p_1) p \in I_l (p)\); \(R R p = R p\)。
\(I_r (p)\)は本当にライトアイディアル（右イデアル）である: \(p p_1 + p p_2 = p (p_1 + p_2) \in I_r (p)\); \(0 = p 0 \in I_r (p)\); \(- (p p_1) = p (- p_1) \in I_r (p)\); \(p R R = p R\)。
\(I_b (p)\)は本当にボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である: \(\sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p p_{r, j}) + \sum_{j \in \{1, ..., k'\}} (p'_{l, j} p p'_{r, j}) \in I_b (p)\); \(0 = 0 p 0 \in I_b (p)\); \(- (\sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p p_{r, j})) = \sum_{j \in \{1, ..., k\}} ((- p_{l, j}) p p_{r, j}) \in I_r (p)\); \(R I_b (p) = I_b (p) R = I_b (p)\)。
\(I_b (p)\)を\(R p R\)として定義することはできない、なぜなら、\(p_{l, 1} p p_{r, 1} + p'_{l, 1} p p'_{r, 1}\)は必ずしも\(R p R\)の中にない。
\(R\)がコミュータティブ（可換）である時は、各レフトプリンシパルアイディアル（左プリンシパルイデアル）またはライトプリンシパルアイディアル（右プリンシパルイデアル）は、ボースサイデッドプリンシパルアイディアル（両側イデアル）である、なぜなら、例えば、\(I_l (p) \subseteq I_b (p)\)は明らかであるところ、各\(\sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p p_{r, j})\)に対して、\(= \sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p_{r, j} p) = \sum_{j \in \{1, ..., k\}} (p_{l, j} p_{r, j}) p \in R p\)、したがって、\(I_b (p) \subseteq I_l (p)\)。
