2024年6月2日日曜日

602: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）である

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グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
G1: ∈{ 全てのグループ（群）たち }
G2: ∈{ 全てのグループ（群）たち }
f: :G1→G2, ∈{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }
ranf: =f のレンジ（値域） 
//

ステートメント（言明）たち:
ranf∈{G2 の全てのサブグループ（部分群）たち }.
//

2: 自然言語記述


任意のグループ（群）たちG1,G2、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）f:G1→G2に対して、fのレンジ（値域）ranfはG2のサブグループ（部分群）である。

3: 証明


任意のグループ（群）のアイデンティティ（単位）要素はeとして表記される。

任意の要素たちg1,g2∈ranfに対して、g1g2∈ranf、なぜなら、あるgj′∈G1に対してgj=f(gj′)、g1g2=f(g1′)f(g2′)=f(g1′g2′)。

e∈ranf、なぜなら、f(e)=e。

任意の要素g∈ranfに対して、g−1∈ranf、なぜなら、あるg′∈G1に対して、g=f(g′)、g−1=f(g′)−1=f(g′−1)。

ranfはアソシアティブ（連結）法則を満たす、なぜなら、要素たちはG2の要素たちであり、オペレーションはG2のそれから継承されているから。

参考資料
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