グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(: G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(ran f\): \(= f \text{ のレンジ（値域） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(ran f \in \{G_2 \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\).
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）たち\(G_1, G_2\)、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G_1 \to G_2\)に対して、\(f\)のレンジ（値域）\(ran f\)は\(G_2\)のサブグループ（部分群）である。
3: 証明
任意のグループ（群）のアイデンティティ（単位）要素は\(e\)として表記される。
任意の要素たち\(g_1, g_2 \in ran f\)に対して、\(g_1 g_2 \in ran f\)、なぜなら、ある\(g'_j \in G_1\)に対して\(g_j = f (g'_j)\)、\(g_1 g_2 = f (g'_1) f (g'_2) = f (g'_1 g'_2)\)。
\(e \in ran f\)、なぜなら、\(f (e) = e\)。
任意の要素\(g \in ran f\)に対して、\(g^{-1} \in ran f\)、なぜなら、ある\(g' \in G_1\)に対して、\(g = f (g')\)、\(g^{-1} = {f (g')}^{-1} = f (g'^{-1})\)。
\(ran f\)はアソシアティブ（連結）法則を満たす、なぜなら、要素たちは\(G_2\)の要素たちであり、オペレーションは\(G_2\)のそれから継承されているから。
