インジェクティブ（単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はレンジ（値域）の上への'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインジェクティブ（単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）の上への'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\} \cap \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
\(f'\): \(G_1 \to f (G_1)\), \(g \mapsto f (g)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (G_1) \in \{G_2 \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(\land\)
\(f' \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）たち\(G_1, G_2\)、任意のインジェクティブ（単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G_1 \to G_2\)に対して、\(f (G_1) \subseteq G_2\)は\(G_2\)のサブグループ（部分群）であり、\(f': G_1 \to f (G_1)\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
\(f (G_1)\)は\(G_2\)のサブグループ（部分群）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、当該ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。
\(f'\)はバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
したがって、\(f'\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
