バイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G_1\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(f\): \(G_1 \to G_2\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\} \cap \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）たち\(G_1, G_2\)、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G_1 \to G_2\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: G_2 \to G_1\)がある。
問題は、\(f^{-1}\)が必ずグループ（群）ホモモーフィック（準同形写像）であるかである。
\(f\)は\(G_1\)のアイデンティティ（単位）要素を\(G_2\)のアイデンティティ（単位）要素へマップするので、\(f^{-1}\)は\(G_2\)のアイデンティティ（単位）要素を\(G_1\) アイデンティティ（単位）要素へマップする。
任意の\(g_{2, 1}, g_{2, 2} \in G_2\)に対して、\(f^{-1} (g_{2, 1} g_{2, 2}) = f^{-1} (g_{2, 1}) f^{-1} (g_{2, 2})\)であるか？\(f (f^{-1} (g_{2, 1}) f^{-1} (g_{2, 2})) = f (f^{-1} (g_{2, 1})) f (f^{-1} (g_{2, 2})) = g_{2, 1} g_{2, 2}\)、それが意味するのは、\(f^{-1} (g_{2, 1} g_{2, 2}) = f^{-1} (g_{2, 1}) f^{-1} (g_{2, 2})\)。
任意の\(g_2 \in G_2\)に対して、\(f^{-1} ({g_2}^{-1}) = {f^{-1} (g_2)}^{-1}\)であるか？\(f^{-1} ({g_2}^{-1}) f^{-1} (g_2) = f^{-1} ({g_2}^{-1} g_2) = f^{-1} (1) = 1\)、それが意味するのは、\(f^{-1} ({g_2}^{-1}) = {f^{-1} (g_2)}^{-1}\)。
4: 注
一般に、あるカテゴリーのあるバイジェクティブ（全単射）モーフィズムは必ずしも%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）ではない。例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）（それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'カテゴリーのモーフィズムである）は、必ずしもホメオモーフィズム（位相同形写像）（それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である）ではない。
