601: バイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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バイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G_1$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G_2$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$f$: $G_1\to G_2$, $\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\cap \{\text{ 全てのグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）たち$G_1,G_2$、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）$f:G_1\to G_2$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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3: 証明

$f$はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）$f^{-1}:G_2\to G_1$がある。

問題は、$f^{-1}$が必ずグループ（群）ホモモーフィック（準同形写像）であるかである。

$f$は$G_1$のアイデンティティ（単位）要素を$G_2$のアイデンティティ（単位）要素へマップするので、$f^{-1}$は$G_2$のアイデンティティ（単位）要素を$G_1$ アイデンティティ（単位）要素へマップする。

任意の$g_{2,1},g_{2,2}\in G_2$に対して、$f^{-1}(g_{2,1}{g}_{2,2})=f^{-1}(g_{2,1})f^{-1}(g_{2,2})$であるか？$f(f^{-1}(g_{2,1})f^{-1}(g_{2,2}))=f(f^{-1}(g_{2,1}))f(f^{-1}(g_{2,2}))=g_{2,1}{g}_{2,2}$、それが意味するのは、$f^{-1}(g_{2,1}{g}_{2,2})=f^{-1}(g_{2,1})f^{-1}(g_{2,2})$。

任意の$g_2\in G_2$に対して、$f^{-1}({g_2}^{-1})={f^{-1}(g_2)}^{-1}$であるか？$f^{-1}({g_2}^{-1})f^{-1}(g_2)=f^{-1}({g_2}^{-1}{g}_2)=f^{-1}(1)=1$、それが意味するのは、$f^{-1}({g_2}^{-1})={f^{-1}(g_2)}^{-1}$。

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4: 注

一般に、あるカテゴリーのあるバイジェクティブ（全単射）モーフィズムは必ずしも%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）ではない。例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）（それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'カテゴリーのモーフィズムである）は、必ずしもホメオモーフィズム（位相同形写像）（それは、'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である）ではない。

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参考資料

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