635: リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）である

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リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）であることの記述/証明

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話題

About: リーアルジェブラ（多元環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{F\text{ 上方の全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}$
$V_2$: $\in \{F\text{ 上方の全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(V_1)\in \{V_2\text{ の全てのリーサブアルジェブラ（多元環）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、$F$上方の任意のリーアルジェブラ（多元環）たち$V_1,V_2$、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）$f:V_1\to V_2$に対して、$f(V_1)$は$V_2$のリーサブアルジェブラ（多元環）である。

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3: 証明

$f(V_1)$は、$F$ベクトルたちスペースであるか？$f(V_1)$は、ベクトルたちスペースオペレーションたちの下でクローズド（閉じている）であるか？もしも、そうであれば、$f(V_1)$は$F$ベクトルたちスペースである、なぜなら、ベクトルたちスペースのプロパティたちは満たされるであろう、それらは周囲$V_2$で満たされているから。任意の$f(v_1),f(v_2)\in f(V_1)$および任意の$r_1,r_2\in F$に対して、$r_{1}f(v_1)+r_{2}f(v_2)=f(r_1{v}_1+r_2{v}_2)\in f(V_1)$。したがって、はい。

$f(V_1)$は、ブラケットの下でクローズド（閉じている）であるか？もしも、そうであれば、$f(V_1)$はリーアルジェブラ（多元環）である、なぜなら、リーアルジェブラ（多元環）のプロパティたちはそこで満たされる、それらは周囲$V_2$内で満たされるから。任意の$f(v_1),f(v_2)\in f(V_1)$に対して、$[f(v_1),f(v_2)]=f([v_1,v_2])\in f(V_1)$。したがって、はい。

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4: 注

本記事は本命題を明示的に確認したが、そもそも、任意のホモモーフィズム（準同形写像）は、レンジ（値域）がコドメイン（余域）のサブスペースであるように定義されているはずである。

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参考資料

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