リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）であることの記述/証明
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (V_1) \in \{V_2 \text{ の全てのリーサブアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、\(F\)上方の任意のリーアルジェブラ（多元環）たち\(V_1, V_2\)、任意のリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f (V_1)\)は\(V_2\)のリーサブアルジェブラ（多元環）である。
3: 証明
\(f (V_1)\)は、\(F\)ベクトルたちスペースであるか？\(f (V_1)\)は、ベクトルたちスペースオペレーションたちの下でクローズド（閉じている）であるか？もしも、そうであれば、\(f (V_1)\)は\(F\)ベクトルたちスペースである、なぜなら、ベクトルたちスペースのプロパティたちは満たされるであろう、それらは周囲\(V_2\)で満たされているから。任意の\(f (v_1), f (v_2) \in f (V_1)\)および任意の\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\(r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2) = f (r_1 v_1 + r_2 v_2) \in f (V_1)\)。したがって、はい。
\(f (V_1)\)は、ブラケットの下でクローズド（閉じている）であるか？もしも、そうであれば、\(f (V_1)\)はリーアルジェブラ（多元環）である、なぜなら、リーアルジェブラ（多元環）のプロパティたちはそこで満たされる、それらは周囲\(V_2\)内で満たされるから。任意の\(f (v_1), f (v_2) \in f (V_1)\)に対して、\([f (v_1), f (v_2)] = f ([v_1, v_2]) \in f (V_1)\)。したがって、はい。
4: 注
本記事は本命題を明示的に確認したが、そもそも、任意のホモモーフィズム（準同形写像）は、レンジ（値域）がコドメイン（余域）のサブスペースであるように定義されているはずである。
