634: ファンクター（関手）はアイソモーフィズム（同形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）へマップする|T.B.P.日本語版

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ファンクター（関手）はアイソモーフィズム（同形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）へマップすることの記述/証明

話題

About: カテゴリー（圏）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 証明

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のファンクター（関手）は任意のアイソモーフィズム（同形写像）をあるアイソモーフィズム（同形写像）へマップするという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

C_{1}

\in {全てのカテゴリー（圏）たち}

C_{2}

\in {全てのカテゴリー（圏）たち}

F

\in {C_{1} から C_{2} への全てのファンクター（関手）たち}

O_{1}

\in O b j (C_{1})

O_{2}

\in O b j (C_{1})

f

\in M o r (O_{1}, O_{2})

//

ステートメント（言明）たち:

f \in {全ての C_{1} アイソモーフィズム（同形写像）たち}

⟹

F (f) \in {全ての C_{2} アイソモーフィズム（同形写像）たち}

2: 自然言語記述

任意のカテゴリー（圏）たち

C_{1}, C_{2}

、

C_{1}

から

C_{2}

への任意のファンクター（関手）

F

、任意のオブジェクトたち

O_{1}, O_{2} \in O b j (C_{1})

、任意のモーフィズム（射）

f \in M o r (O_{1}, O_{2})

に対して、もしも、

f

が

C_{1}

アイソモーフィズム（同形写像）である場合、

F (f) \in M o r (F (O_{1}), F (O_{2}))

は

C_{2}

アイソモーフィズム（同形写像）である。

3: 証明

以下を満たすあるモーフィズム（射）

f^{- 1} \in M o r (O_{2}, O_{1})

、つまり、

f^{- 1} \circ f = i d_{O_{1}} \land f \circ f^{- 1} = i d_{O_{2}}

、がある。

F

はコバリアント（共変）ファンクター（関手）であると仮定しよう。

コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義によって、

F (f^{- 1}) \circ F (f) = F (f^{- 1} \circ f) = F (i d_{O_{1}}) = i d_{F (O_{1})}

;

F (f) \circ F (f^{- 1}) = F (f \circ f^{- 1}) = F (i d_{O_{2}}) = i d_{F (O_{2})}

、それが意味するのは、

F (f)

は

C_{2}

アイソモーフィズム（同形写像）であるということ。

F

はコントラバリアント（反変）ファンクター（関手）であると仮定しよう。

コントラバリアント（反変）ファンクター（関手）によって、

F (f) \circ F (f^{- 1}) = F (f^{- 1} \circ f) = F (i d_{O_{1}}) = i d_{F (O_{1})}

;

F (f^{- 1}) \circ F (f) = F (f \circ f^{- 1}) = F (i d_{O_{2}}) = i d_{F (O_{2})}