2024年7月14日日曜日

675: ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V′: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V: ∈{V′ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }
∗V~: ∈{V′ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }
//

コンディションたち:
V∩V~={0}
∧
V′=V+V~
//

V′=V+V~が意味するのは、∀v′∈V′(∃v∈V,∃v~∈V~(v′=v+v~))ということ。

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペース（空間）V′、任意のサブスペース（部分空間）V⊆V′に対して、以下を満たす任意のサブスペース（部分空間）V~⊆V′、つまり、V∩V~={0}およびV′=V+V~

3: 注1


当該デコンポジション（分解）v′=v+v~は、不可避にユニークである、なぜなら、もしも、v′=v1+v1~=v2+v2~であったら、v1−v2=v2~−v1~、しかし、左辺はVのある要素であり、右辺はV~のある要素である、したがって、それは、V∩V~={0}内にある、したがって、v1−v2=v2~−v1~=0、したがって、v1=v2およびv1~=v2~。

4: 注2


同一のベクトルたちスペース（空間）に対して複数のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たちがあり得る、なぜなら、例えば、V′はベーシス（基底）{e1,e2}のスパン（張る空間）、Vはベーシス（基底）{e1}のスパン（張る空間）、ベーシス（基底）{e2}のスパン（張る空間）はVのあるコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であるが、ベーシス（基底）{e1+e2}のスパン（張る空間）もVのあるあるコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である。

5: 注3


V~は、Vのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であるためにVへ"パーペンディキュラー（垂直）"である必要はない。実のところ、"パーペンディキュラー（垂直）"は、インナープロダクト（内積）がV′上で定義されてある時のみ定義されるが、インナープロダクト（内積）は、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）という概念のために要求されない。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: