ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(*\widetilde{V}\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(V \cap \widetilde{V} = \{0\}\)
\(\land\)
\(V' = V + \widetilde{V}\)
//
\(V' = V + \widetilde{V}\)が意味するのは、\(\forall v' \in V' (\exists v \in V, \exists \widetilde{v} \in \widetilde{V} (v' = v + \widetilde{v}))\)ということ。
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V'\)、任意のサブスペース（部分空間）\(V \subseteq V'\)に対して、以下を満たす任意のサブスペース（部分空間）\(\widetilde{V} \subseteq V'\)、つまり、\(V \cap \widetilde{V} = \{0\}\)および\(V' = V + \widetilde{V}\)
3: 注1
当該デコンポジション（分解）\(v' = v + \widetilde{v}\)は、不可避にユニークである、なぜなら、もしも、\(v' = v_1 + \widetilde{v_1} = v_2 + \widetilde{v_2}\)であったら、\(v_1 - v_2 = \widetilde{v_2} - \widetilde{v_1}\)、しかし、左辺は\(V\)のある要素であり、右辺は\(\widetilde{V}\)のある要素である、したがって、それは、\(V \cap \widetilde{V} = \{0\}\)内にある、したがって、\(v_1 - v_2 = \widetilde{v_2} - \widetilde{v_1} = 0\)、したがって、\(v_1 = v_2\)および\(\widetilde{v_1} = \widetilde{v_2}\)。
4: 注2
同一のベクトルたちスペース（空間）に対して複数のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たちがあり得る、なぜなら、例えば、\(V'\)はベーシス（基底）\(\{e_1, e_2\}\)のスパン（張る空間）、\(V\)はベーシス（基底）\(\{e_1\}\)のスパン（張る空間）、ベーシス（基底）\(\{e_2\}\)のスパン（張る空間）は\(V\)のあるコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であるが、ベーシス（基底）\(\{e_1 + e_2\}\)のスパン（張る空間）も\(V\)のあるあるコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である。
5: 注3
\(\widetilde{V}\)は、\(V\)のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であるために\(V\)へ"パーペンディキュラー（垂直）"である必要はない。実のところ、"パーペンディキュラー（垂直）"は、インナープロダクト（内積）が\(V'\)上で定義されてある時のみ定義されるが、インナープロダクト（内積）は、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）という概念のために要求されない。
