674: ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）

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ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
• 読者は、全てのオーディナルナンバー（順序数）たちのクラスはウェルオーダード（整列集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$B^{\prime }$: $=\{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
$\ast min(\{|B||B\in B^{\prime }\})$: ここで、$|B|$は$B$のカーディナリティ（濃度）を表わす
//

コンディションたち:
//

$B^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }$、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題によって。

$min(\{|B||B\in B^{\prime }\})$はウェルデファインド（妥当に定義されている）である、もしも、いくつか互いに異なるカーディナリティ（濃度）たちがあったとしても、全てのオーディナルナンバー（順序数）たちのクラスはウェルオーダード（整列集合）であるという命題によって、任意のカーディナルナンバー（濃度数）はオーディナルナンバー（順序数）であるところ。

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$の全てのベーシス（基底）たちのセット（集合）$B^{\prime }$に対して、$min(\{|B||B\in B^{\prime }\})$、ここで、$|B|$は$B$のカーディナリティ（濃度）を表わす

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3: 注

本定義は、全てのベーシス（基底）たちが同一カーディナリティ（濃度）を持っているとは仮定しない、しかし、少なくとも、ディメンション（次元）がファイナイト（有限）である時は、それは真であると証明されている、任意のファイナイト（有限）ディメンジョナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題によって。

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参考資料

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