ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、全てのオーディナルナンバー（順序数）たちのクラスはウェルオーダード（整列集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( B'\): \(= \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(*min (\{\vert B \vert \vert B \in B'\})\): ここで、\(\vert B \vert\)は\(B\)のカーディナリティ（濃度）を表わす
//
コンディションたち:
//
\(B' \neq \emptyset\)、任意のベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つという命題によって。
\(min (\{\vert B \vert \vert B \in B'\})\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である、もしも、いくつか互いに異なるカーディナリティ（濃度）たちがあったとしても、全てのオーディナルナンバー（順序数）たちのクラスはウェルオーダード（整列集合）であるという命題によって、任意のカーディナルナンバー（濃度数）はオーディナルナンバー（順序数）であるところ。
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)の全てのベーシス（基底）たちのセット（集合）\(B'\)に対して、\(min (\{\vert B \vert \vert B \in B'\})\)、ここで、\(\vert B \vert\)は\(B\)のカーディナリティ（濃度）を表わす
3: 注
本定義は、全てのベーシス（基底）たちが同一カーディナリティ（濃度）を持っているとは仮定しない、しかし、少なくとも、ディメンション（次元）がファイナイト（有限）である時は、それは真であると証明されている、任意のファイナイト（有限）ディメンジョナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題によって。
