676: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、要素を、要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）（要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、ベーシス（基底）を形成する|T.B.P.日本語版

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、要素を、要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）（要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、ベーシス（基底）を形成することの記述/証明

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

F

\in {全てのフィールド（体）たち}

V

\in {全ての d ディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち}

B

= {e_{1}, . . ., e_{d}}

\in {V の全てのベーシス（基底）たち}

e_{k}^{'}

= c^{j} e_{j}

、（アインシュタインコンベンションによる）、ここで、

c^{k} \neq 0

//

ステートメント（言明）たち:

B^{'} := (B ∖ {e_{k}}) \cup {e_{k}^{'}} \in {V の全てのベーシス（基底）たち}

2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）

F

、任意の

d

ディメンショナル（次元）

F

ベクトルたちスペース（空間）

V

、

V

の任意のベーシス（基底）

B = {e_{1}, . . ., e_{d}}

、任意の

e_{k}^{'} := c^{j} e_{j}

（アインシュタインコンベンションによる）、ここで、

c^{k} \neq 0

、に対して、

B^{'} := (B ∖ {e_{k}}) \cup {e_{k}^{'}}

は

V

のあるベーシス（基底）である。

3: 証明

全体戦略: ステップ1:

B^{'}

はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを示す; ステップ2:

B^{'}

は

V

をスパン（張る）ことを示す。

ステップ1:

B^{'}

はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを証明しよう。

d^{1} e_{1} + d^{2} e_{2} + . . . + d^{k - 1} e_{k - 1} + d^{k} e_{k}^{'} + d^{k + 1} e_{k + 1} + . . . + d^{d} e_{d} = 0

であると仮定しよう。

d^{1} e_{1} + d^{2} e_{2} + . . . + d^{k - 1} e_{k - 1} + d^{k} c^{j} e_{j} + d^{k + 1} e_{k + 1} + . . . + d^{d} e_{d} = 0

。

e_{k}

のコエフィシェント（係数）は

d^{k} c^{k}

であり、

B

はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、

d^{k} c^{k} = 0

であり、

d^{k} = 0

c^{k} \neq 0

。すると、

d^{1} e_{1} + d^{2} e_{2} + . . . + d^{k - 1} e_{k - 1} + 0 + d^{k + 1} e_{k + 1} + . . . + d^{d} e_{d} = 0

、そして、各

d^{j}

は

0

である、

B

はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから。

したがって、

B^{'}

はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

ステップ2:

V

内の任意のベクトルは、

B^{'}

の全ての要素たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）であることを証明しよう。

e_{k}^{'} / c_{k} = c^{j} e_{j} / c_{k} = e_{k} + \sum_{j \neq k} (c^{j} / c_{k}) e_{j}

、したがって、

e_{k} = e_{k}^{'} / c_{k} - \sum_{j \neq k} (c^{j} / c_{k}) e_{j}

。

任意のベクトル

v = d^{j} e_{j}

に対して、

e_{k}

は

e_{k}^{'} / c_{k} - \sum_{j \neq k} (c^{j} / c_{k}) e_{j}

によって置き換えることができる、すると、それは、

B^{'}

のリニアコンビネーション（線形結合）である。

参考資料

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学校数学をより高い視点から
わかりにくい用語や説明をひもとく
情報テーブル群
LibreOfficeまたはOpenOfficeを活用する
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C++を暴く
Pythonを暴く
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2024年7月14日日曜日

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