ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、要素を、要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）（要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、ベーシス（基底）を形成することの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(= \{e_1, ..., e_d\}\), \(\in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(e'_k\): \(= c^j e_j\)、（アインシュタインコンベンションによる）、ここで、\(c^k \neq 0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B' := (B \setminus \{e_k\}) \cup \{e'_k\} \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)の任意のベーシス（基底）\(B = \{e_1, ..., e_d\}\)、任意の\(e'_k := c^j e_j\)（アインシュタインコンベンションによる）、ここで、\(c^k \neq 0\)、に対して、\(B' := (B \setminus \{e_k\}) \cup \{e'_k\}\)は\(V\)のあるベーシス（基底）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを示す; ステップ2: \(B'\)は\(V\)をスパン（張る）ことを示す。
ステップ1:
\(B'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを証明しよう。
\(d^1 e_1 + d^2 e_2 + ... + d^{k - 1} e_{k - 1} + d^k e'_k + d^{k + 1} e_{k + 1} + ... + d^d e_d = 0\)であると仮定しよう。\(d^1 e_1 + d^2 e_2 + ... + d^{k - 1} e_{k - 1} + d^k c^j e_j + d^{k + 1} e_{k + 1} + ... + d^d e_d = 0\)。\(e_k\)のコエフィシェント（係数）は\(d^k c^k\)であり、\(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、\(d^k c^k = 0\)であり、\(d^k = 0\) as \(c^k \neq 0\)。すると、\(d^1 e_1 + d^2 e_2 + ... + d^{k - 1} e_{k - 1} + 0 + d^{k + 1} e_{k + 1} + ... + d^d e_d = 0\)、そして、各\(d^j\)は\(0\)である、\(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから。
したがって、\(B'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
ステップ2:
\(V\)内の任意のベクトルは、\(B'\)の全ての要素たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）であることを証明しよう。
\(e'_k / c_k = c^j e_j / c_k = e_k + \sum_{j \neq k} (c^j / c_k) e_j\)、したがって、\(e_k = e'_k / c_k - \sum_{j \neq k} (c^j / c_k) e_j\)。
任意のベクトル\(v = d^j e_j\)に対して、\(e_k\)は\(e'_k / c_k - \sum_{j \neq k} (c^j / c_k) e_j\)によって置き換えることができる、すると、それは、\(B'\)のリニアコンビネーション（線形結合）である。
