フィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(F \in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)に対して、\(F\)はインテグラルドメイン（整域）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(F\)は非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る; ステップ2: \(F\)の以下を満たす任意の2つの要素たち、つまり、プロダクト（積）が\(0\)である、に対して、当該要素たちの内の1つは\(0\)であることを見る。
ステップ1:
\(F\)は非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）である、フィールド（体）の定義によって。
ステップ2:
任意の要素たち\(r_1, r_2 \in F\)を取ろう。\(r_1 r_2 = 0\)だと仮定しよう。もしも、\(r_2 \neq 0\)である場合、\(r_1 = r_1 r_2 {r_2}^{-1} = 0 {r_2}^{-1} = 0\); もしも、\(r_1 \neq 0\)である場合、\(r_2 = {r_1}^{-1} r_1 r_2 = {r_1}^{-1} 0 = 0\)。それが意味するのは、\(r_1 = 0\)または\(r_2 = 0\)。
論理的対偶として、\(\lnot (r_1 = 0 \lor r_2 = 0) = (r_1 \neq 0 \land r_2 \neq 0) \implies r_1 r_2 \neq 0\)。
