686: フィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である

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フィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$F\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$に対して、$F$はインテグラルドメイン（整域）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $F$は非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る; ステップ2: $F$の以下を満たす任意の2つの要素たち、つまり、プロダクト（積）が$0$である、に対して、当該要素たちの内の1つは$0$であることを見る。

ステップ1:

$F$は非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）である、フィールド（体）の定義によって。

ステップ2:

任意の要素たち$r_1,r_2\in F$を取ろう。$r_1{r}_2=0$だと仮定しよう。もしも、$r_2\ne 0$である場合、$r_1=r_1{r}_2{r_2}^{-1}=0{r_2}^{-1}=0$; もしも、$r_1\ne 0$である場合、$r_2={r_1}^{-1}{r}_1{r}_2={r_1}^{-1}0=0$。それが意味するのは、$r_1=0$または$r_2=0$。

論理的対偶として、$\mathrm{\neg }(r_1=0\vee r_2=0)=(r_1\ne 0\wedge r_2\ne 0)⟹r_1{r}_2\ne 0$。

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参考資料

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