687: フィールド（体）上方にて、n次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たない

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フィールド（体）上方にて、n次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないことの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のn次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F[x]$: $=F\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
$p(x)$: $\in F[x]$
$S$: $=\{p(x)\text{ の全ての根たち }\}$、$S\subseteq F$
//

ステートメント（言明）たち:
$0<deg(p(x))$
$⟹$
$|S|\le deg(p(x))$、ここで、$|S|$は$S$のカーディナリティ（濃度）を表わす
//

$p(x)=0$である時、各$s\in F$は$p(x)$の"根"と呼ばれるのか？かもしれない。とにかく、そのケースを除外するために、本命題は、$0<deg(p(x))$だと想定した。

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、$F$上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）$F[x]$、任意の$0$より大きな次数ポリノミアル（多項式）$p(x)\in F[x]$、$p(x)$の全ての根たちのセット（集合）$S$に対して、$|S|\le deg(p(x))$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の第1の根$s_1\in S$に対して、$p(x)$を$x-s_1$およびクウォシェント（商）で因子分解する; ステップ2: 任意の第2根$s_2\in S$に対して、$s_2$は当該クウォシェント（商）のある根である、したがって、当該クウォシェント（商）を$x-s_2$および新たなクウォシェント（商）で因子分解する、等々と続く; ステップ3: 根たちの数は$p(x)$の次数を超えることができないことを見る。

ステップ1:

任意の第1の（それは、$F$の何らのオーダー（順序）も意味しない: 単に、第1に選ばれたことを意味する）根$s_1\in S$を取ろう。$p(x)=(x-s)q_1(x)$、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題に対する"注"によって。

ステップ2:

任意の第2根$s_2\in S$を取ろう。$s_2$は$q_1(x)$の根であることを見よう。$p(s_2)=(s_2-s_1)q_1(s_2)=0$。$s_2-s_1\ne 0$、なぜなら、そうでなければ、$s_2=s_1$。$F$はインテグラルドメイン（整域）である、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題によって、から、$q_1(s_2)=0$。したがって、$q_1(x)=(x-s_2)q_2(x)$、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題に対する"注"によって。したがって、$p(x)=(x-s_1)(x-s_2)q_2(x)$。

同様に、$k$根たちがある限り、$p(x)=(x-s_1)(x-s_2)(x-s_k)q_k(x)$。

ステップ3:

もしも、$deg(p(x))<k$であったら、右辺は$deg(p(x))$より大きい次数のものということになる、矛盾。したがって、$k\le deg(p(x))$。

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参考資料

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