フィールド（体）上方にて、ポリノミアル（多項式）および非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）はユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つことの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）および任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）はユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F [x]\): \(= F \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
\(p' (x)\): \(\in F [x]\)
\(p (x)\): \(\in F [x]\), \(\neq 0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(!\exists q (x), r (x) \in F [x] (deg (r (x)) \lt deg (p (x)) \land p' (x) = p (x) q (x) + r (x))\)、ここで、\(!\exists\)はユニークな存在を表わす
//
2: 注1
\(q (x)\)および\(r (x)\)は、\(p' (x) / p (x)\)の"クウォシェント（商）"および"リメインダー（余り）"と呼ばれる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(deg (p' (x)) \lt deg (p (x))\)というケースのことを考え、そのケースに対して、本命題を結論する; ステップ2: \(deg (p (x)) \le deg (p' (x))\)というケースのことを考え、そのケースに対して、本命題を結論する。
実のところ、当該2ケースたちに対するロジックたちは本質的に異なるわけではない、しかし、当該ケースたちの分割は私たちの記法たちを容易にする。
\(p (x) = p_m x^m + ... + p_0\)、ここで、\(p_m \neq 0\)、と仮定しよう。
ステップ1:
\(deg (p' (x)) \lt deg (p (x))\)であると仮定しよう。
\(q (x) = 0\)は不可避である、なぜなら、もしも、\(q (x)\)がある項\(q_l x^l\)を\(q_l \neq 0\)で持っていたら、\(p (x) q (x)\)は項\(p_m q_l x^{m + l}\)を持つことになる、それは、\(m\)に等しいかそれより大きい次数のものだということになる、しかし、\(p' (x)\)の次数は\(m\)より小さかったから、\(p_m q_l x^{m + l}\)は\(r (x)\)によって消し去られなければならないことになる、しかし、それは、不可能だということになる、なぜなら、\(r (x)\)は\(m\)-次より小さい次数の項目しか持てない。
すると、不可避に、\(p' (x) = p (x) 0 + r (x) = r (x)\)。
したがって、\(q (x) = 0, r (x) = p' (x)\)がユニーク解である。
ステップ2:
\(deg (p (x)) \le deg (p' (x))\)であると仮定しよう。
ステップ2戦略: ステップ2-1: \(p' (x), q (x), r (x)\)は特定のコエフィシェント（係数）たちを持つと仮定する; ステップ2-2: \(p (x) q (x) + r (x)\)を展開し、モノミアル（単項式）たちを次数たちによってグループ化する; ステップ2-3: \(p' (x)\)のコエフィシェント（係数）たちと\(p (x) q (x) + r (x)\)のコエフィシェント（係数）たちを比較し、\(q (x)\)および\(r (x)\)のコエフィシェント（係数）たちはユニークに決定されることを見る。
ステップ2-1:
\(p' (x) = 0\)である時、\(p (x) = p_0\)、そして、\(0 = p' (x) = p (x) q (x) + r (x) = p_0 q (x) + 0 = p_0 0 + 0\)、ここで、\(q (x) = 0\)および\(r (x) = 0\)がユニークな解である。
これ以降は、\(p' (x) \neq 0\)であると仮定しよう。
一般性を失うことなく、\(p' (x) = p'_n x^n + ... + p'_0\)、\(q (x) = q_l x^l + ... + q_0\)、\(r (x) = r_{m - 1} x^{m - 1} + ... + r_0\)、ここで、\(p'_n, q_l \neq 0\)であるが\(r (x)\)のいくつかの上位コエフィシェント（ 係数）たちは\(0\)かもしれない、と仮定しよう。当該仮定は妥当である、なぜなら、\(p' (x) \neq 0\)であるから、\(q (x) \neq 0\)でもある、なぜなら、\(p' (x) = p (x) 0 + r (x) = r (x)\)は不可能である、なぜなら、\(deg (r (x)) \lt deg (p (x)) \le deg (p' (x))\)。
ステップ2-2:
\(p (x) q (x) + r (x) = (p_m x^m + ... + p_0) (q_l x^l + ... + q_0) + (r_{m - 1} x^{m - 1} + ... + r_0) = p_m q_l x^{m + l} + (p_m q_{l - 1} + p_{m - 1} q_{l}) x^{m + l - 1} + ... + (p_m q_0 + p_{m - 1} q_1 + ... + p_{m - l} q_l) x^m + (p_{m - 1} q_0 + p_{m - 2} q_1 + ... + p_{m - 1 - l} q_l + r_{m - 1}) x^{m - 1} + ... + (p_0 q_0 + r_0)\)。注意として、勿論、もしも、\(l = 0\)である場合、\(q_{l - 1}\)は本当には存在しない、もしも、\(m = 0\)である場合、\(p_{m - 1}\)は本当には存在しない、等々、しかし、そうしたケース分割たちは、読者を助けるよりも煩わせるであろうから、当該記法はそのようなままにしておく、それが何を意味するかは読者は理解するであろうと仮定して: 不可能な項たちは単に存在しないものと意図されている。これ以降の記法たちも同様である。
ステップ2-3:
不可避に、\(n = m + l\)、そして、\(p'_n = p_m q_l\)、それは、ユニークに\(q_l = {p_m}^{-1} p'_n\)を決定する。
もしも、\(n = m\)である場合、\(q_l = q_0\)、そして、\(q (x)\)はユニークに決定された。
そうでなければ、\(m \le n - 1\)、そして、\(p'_{n - 1}, ..., p'_m\)をその順で見ていく。
\(p'_{n - 1}\)に対して、不可避に、\(p'_{n - 1} = p_m q_{l - 1} + p_{m - 1} q_l\)、それは、ユニークに\(q_{l - 1} = {p_m}^{-1} (p'_{n - 1} - p_{m - 1} q_l)\)を決定する: \(q_l\)は既に決定されている。
\(p'_{n - 1}, ..., p'_{n - (j - 1)}\)を見終わり、\(q_{l - 1}, ..., q_{l - (j - 1)}\)を決定済みだと仮定して、\(p'_{n - j}\)を見よう。
\(p'_{n - j} = p_m q_{l - j} + p_{m - 1} q_{l - j + 1} + ... + p_{m - j} q_l\)。不可避に、\(q_{l - j} = {p_m}^{-1} (p'_{n - j} - p_{m - 1} q_{l - j + 1} - ... - p_{m - j} q_l)\)。
注意として、最後の\(p'_m\)は\(q_0\)に対応する、なぜなら、\(n - j = m\)は\(l - j = l + m - n = 0\)を含意する。
結局、\(q_l, ..., q_0\)がユニークに決定された。
もしも、\(m = 0\)である場合、不可避に、\(r (x) = 0\)。
そうでなければ、\(0 \le m - 1\)、そして、\(p'_{m - 1}, ..., p'_0\)をその順に見ていく。
\(p'_{m - 1}\)に対して、不可避に、\(p'_{m - 1} = p_{m - 1} q_0 + p_{m - 2} q_1 + ... + p_{m - 1 - l} q_l + r_{m - 1}\)、そして、不可避に、\(r_{m - 1} = p'_{m - 1} - p_{m - 1} q_0 - p_{m - 2} q_1 - ... - p_{m - 1 - l} q_l\)、それは、ユニークに決定される。
\(p'_{m - 1}, ..., p'_{m - (j - 1)}\)を見終わり\(r_{m - 1}, ..., r_{m - (j - 1)}\)を決定済みだと仮定して、\(p'_{m - j}\)を見よう。
不可避に、\(p'_{m - j} = p_{m - j} q_0 + p_{m - (j + 1)} q_1 + ... + p_{m - (j + l)} q_l + r_{m - j}\)、それは、ユニークに\(r_{m - j} = p'_{m - j} - p_{m - j} q_0 - p_{m - (j + 1)} q_1 - ... - p_{m - (j + l)} q_l\)を決定する。
注意として、最後の\(p'_0\)は\(r_0\)に対応する。
結局、\(r_{m - 1}, ..., r_0\)はユニークに決定された。それらのいくつかまたは全ては\(0\)であり得る。
\(p' (x) = p (x) q (x) + r (x)\)は本当に成立する、なぜなら、左辺の全てのコエフィシェント（係数）たちは右辺の対応するコエフィシェント（係数）たちに等しい。
4: 注2
ある即座の系として、\(p' (s) = 0\)である時、\(p' (x) = (x - s) q (x)\)、それが意味するのは、\(p' (x)\)は\(x - s\)で割り切れるということ。それは、なぜなら、\(p' (x) = (x - s) q (x) + r (x)\)である一方、\(r (x)\)は次数\(0\)である、したがって、\(r (x) = r\)、そして、\(p' (s) = (s - s) q (s) + r = r = 0\)。
