2024年7月21日日曜日

685: フィールド（体）上方にて、ポリノミアル（多項式）と非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つ

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フィールド（体）上方にて、ポリノミアル（多項式）と非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つことの記述/証明

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
F[x]: =F 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） 
p′(x): ∈F[x]
p(x): ∈F[x], ≠0
//

ステートメント（言明）たち:
!∃q(x),r(x)∈F[x](deg(r(x))<deg(p(x))∧p′(x)=p(x)q(x)+r(x))、ここで、!∃はユニークな存在を表わす
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、F上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）F[x]に対して、任意のポリノミアル（多項式）p′(x)∈F[x]と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）p(x)∈F[x]は、以下を満たすユニークなポリノミアル（多項式）たちq(x),r(x)∈F[x]、つまり、deg(r(x))<deg(p(x))およびp′(x)=p(x)q(x)+r(x)、を持つ。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: deg(p′(x))<deg(p(x))というケースのことを考え、本命題をそのケースに対して結論する; ステップ2: tdeg(p(x))≤deg(p′(x))というケースのことを考え、本命題をそのケースに対して結論する。

実のところ、それら2ケースたちに対するロジックたちは本質的には違わない、しかし、そのようにケース分けすることは私たちの記法たちを容易にする。

p(x)=pmxm+...+p0でpm≠0と仮定しよう。

ステップ1:

deg(p′(x))<deg(p(x))であると仮定しよう。

q(x)=0は不可避である、なぜなら、もしも、q(x)がある項qlxlをql≠0で持っていたら、p(x)q(x)は項pmqlxm+lを持つことになる、それは、mに等しいかより大きな次数のものということになるが、p′(x)の次数はmより小さかったから、pmqlxm+lはr(x)によって消去されなければならないだろう、しかし、それは不可能であろう、なぜなら、r(x)はmより小さい次数の項たちのみを持つことができる。

すると、不可避に、p′(x)=p(x)0+r(x)=r(x)。

したがって、q(x)=0,r(x)=p′(x)がユニークな解である。

ステップ2:

deg(p(x))≤deg(p′(x))であると仮定しよう。

ステップ2戦略: ステップ2-1: p′(x),q(x),r(x)は、特定のコエフィシェント（係数）たちを持っていると仮定する; ステップ2-2: p(x)q(x)+r(x)を展開し、モノミアル（単項式）たちを次数たちによってまとめる; ステップ2-3: p′(x)のコエフィシェント（係数）たちとp(x)q(x)+r(x)のコエフィシェント（係数）たちを比較し、q(x)およびr(x)のコエフィシェント（係数）たちがユニークに決定されることを見る。

ステップ2-1:

一般性を失うことなく、p′(x)=pn′xn+...+p0′、q(x)=qlxl+...+q0、r(x)=rm−1xm−1+...+r0で、pn′,ql≠0であるが、r(x)のいくつかの上位コエフィシェント（係数）たちは0かもしれない、と仮定しよう。その想定は妥当である、なぜなら、deg(p(x))≤deg(p′(x))であるから、p′(x)≠0で、q(x)≠0でもある、なぜなら、p′(x)=p(x)0+r(x)=r(x)は不可能である。

ステップ2-2:

p(x)q(x)+r(x)=(pmxm+...+p0)(qlxl+...+q0)+(rm−1xm−1+...+r0)=pmqlxm+l+(pmql−1+pm−1ql)xm+l−1+...+(pmq0+pm−1q1+...+pm−lql)xm+(pm−1q0+pm−2q1+...+pm−1−lql+rm−1)xm−1+...+(p0q0+r0)。注意として、勿論、もしも、l=0である場合、ql−1は実際には存在しない、もしも、m=0である場合、pm−1は実際には存在しない、等々、しかし、そうしたケース分けたちは、あなたを助けるよりは煩わせるだろうから、表記はそのようにしてある、それが何を意味するかをあなたは理解するだろうという想定して: 不可能な項たちは単に存在しないというように意図されている。以降の表記たちも同様である。

ステップ2-3:

不可避に、n=m+l、そして、pn′=pmql、それは、ユニークにql=pm−1pn′を決定する。

もしも、n=mである場合、ql=q0、そして、q(x)はユニークに決定された。

そうでなければ、m≤n−1、そして、私たちは、pn−1′,...,pm′をその順で見ていく。

pn−1′に対して、不可避に、pn−1′=pmql−1+pm−1ql、それは、ユニークにql−1=pm−1(pn−1′−pm−1ql)を決定する: qlは既に決定されている。

既にpn−1′,...,pn−(j−1)′を見終わっていて、ql−1,...,ql−(j−1)を決定済みであると仮定しよう、そして、pn−j′を見よう。

pn−j′=pmql−j+pm−1ql−j+1+...+pm−jql。不可避に、ql−j=pm−1(pn−j′−pm−1ql−j+1−...−pm−jql)。

注意として、最後のpm′はq0に対応する、なぜなら、n−j=mはl−j=l+m−n=0を含意する。

結局、ql,...,q0はユニークに決定された。

もしも、m=0である場合、不可避に、r(x)=0。

そうでなければ、0≤m−1、そして、私たちは、pm−1′,...,p0′をその順にて見ていく。

pm−1′に対して、不可避に、pm−1′=pm−1q0+pm−2q1+...+pm−1−lql+rm−1、そして、不可避に、rm−1=pm−1′−pm−1q0−pm−2q1−...−pm−1−lql、それは、ユニークに決定される。

既にpm−1′,...,pm−(j−1)′を見て、rm−1,...,rm−(j−1)を決定したと仮定して、pm−j′を見よう。

不可避に、pm−j′=pm−jq0+pm−(j+1)q1+...+pm−(j+l)ql+rm−j、それは、ユニークにrm−j=pm−j′−pm−jq0−pm−(j+1)q1−...−pm−(j+l)qlを決定する。

注意として、最後のp0′はr0へ対応する。

結局、rm−1,...,r0はユニークに決定された。それらの内のいくつかまたは全ては0であり得る。

p′(x)=p(x)q(x)+r(x)は本当に成立する、なぜなら、左辺の全てのコエフィシェント（係数）たちは右辺のコエフィシェント（係数）たちに等しい。

4: 注


即座のコロラリー（系）として、p′(s)=0である時、p′(x)=(x−s)q(x)、それが意味するのは、p′(x)はx−sで割れるということ。その理由は、p′(x)=(x−s)q(x)+r(x)であるところ、r(x)は次数0である、したがって、r(x)=r、そして、p′(s)=(s−s)q(s)+r=r=0。

参考資料
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