ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを追加することによって、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists S' \subseteq V \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } S' \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\} (S \cup S' \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（体）\(V\)、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)に対して、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S' \subseteq V\)、つまり、\(S \cup S'\)は\(V\)のあるベーシス（基底）である、がある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(d\)カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）を取る; ステップ2: 反復的に、当該ベーシス（基底）のある要素を\(S\)へ追加し、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であり続けるようにする; ステップ3: そのうちに、拡張された\(S\)（"S''"と呼ばれる）はあるベーシス（基底）になることを見る。
ステップ1:
あるベーシス（基底）\(B = \{e_1, e_2, ..., e_d\}\)がある。
ステップ2:
もしも、\(S\)が\(V\)をスパン（張る）しなければ、\(S\)へ、当該ベーシス（基底）の、\(S\)の要素たちからインディペンデント（独立）な第1要素\(e_j\)を追加し、結果を\(S''\)と呼ぼう。そのようなある\(e_j\)は存在する、なぜなら、そうでなければ、\(B\)の各要素は\(S\)のリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、それは、\(S\)は\(V\)をスパン（張る）していたということを意味することになる。
もしも、\(S''\)が\(V\)をスパン（張る）しなければ、\(S''\)へ、当該ベーシス（基底）の、\(S''\)の要素たちからインディペンデント（独立）な次の第1要素\(e_j\)を追加し、結果を\(S''\)と呼び続けよう。前と同様、そうしたある\(e_j\)は存在する。等々と続く。
ステップ3:
結局、\(S''\)は、\(B\)のいくつかの要素たちが追加されて\(V\)をスパン（張る）する、なぜなら、\(B\)は\(V\)をスパン（張る）する: 最悪のケース、\(B\)の全ての要素たが追加され、\(S''\)は\(V\)をスパン（張る）ことになる。
\(S''\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）で\(V\)をスパン（張る）する、したがって、\(S''\)はベーシス（基底）である。
\(S' \subseteq B\)は、\(B\)の\(S\)へ追加された要素たちであり、ファイナイト（有限）セット（集合）である。
4: 注
実のところ、不可避に、\(\vert S \vert \le d\)である、しかし、その事実は、本命題が関知する限りまだ証明されていない（それは、本命題を用いて証明される）ので、\(d \lt \vert S \vert\)である可能性は除外されていない。
