677: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを追加することによって

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを追加することによって、ことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\in \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{S}^{\prime }\subseteq V\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }{S}^{\prime }\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}(S\cup S^{\prime }\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（体）$V$、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$S\subseteq V$に対して、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq V$、つまり、$S\cup S^{\prime }$は$V$のあるベーシス（基底）である、がある。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ある$d$カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）を取る; ステップ2: 反復的に、当該ベーシス（基底）のある要素を$S$へ追加し、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であり続けるようにする; ステップ3: そのうちに、拡張された$S$（"S''"と呼ばれる）はあるベーシス（基底）になることを見る。

ステップ1:

あるベーシス（基底）$B=\{e_1,e_2,...,e_d\}$がある。

ステップ2:

もしも、$S$が$V$をスパン（張る）しなければ、$S$へ、当該ベーシス（基底）の、$S$の要素たちからインディペンデント（独立）な第1要素$e_j$を追加し、結果を$S^{″}$と呼ぼう。そのようなある$e_j$は存在する、なぜなら、そうでなければ、$B$の各要素は$S$のリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、それは、$S$は$V$をスパン（張る）していたということを意味することになる。

もしも、$S^{″}$が$V$をスパン（張る）しなければ、$S^{″}$へ、当該ベーシス（基底）の、$S^{″}$の要素たちからインディペンデント（独立）な次の第1要素$e_j$を追加し、結果を$S^{″}$と呼び続けよう。前と同様、そうしたある$e_j$は存在する。等々と続く。

ステップ3:

結局、$S^{″}$は、$B$のいくつかの要素たちが追加されて$V$をスパン（張る）する、なぜなら、$B$は$V$をスパン（張る）する: 最悪のケース、$B$の全ての要素たが追加され、$S^{″}$は$V$をスパン（張る）ことになる。

$S^{″}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）で$V$をスパン（張る）する、したがって、$S^{″}$はベーシス（基底）である。

$S^{\prime }\subseteq B$は、$B$の$S$へ追加された要素たちであり、ファイナイト（有限）セット（集合）である。

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4: 注

実のところ、不可避に、$|S|\le d$である、しかし、その事実は、本命題が関知する限りまだ証明されていない（それは、本命題を用いて証明される）ので、$d<|S|$である可能性は除外されていない。

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参考資料

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