ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、プロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のプロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）プロパー（真）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d \lt d'\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d'\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V'\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）プロパー（真）ベクトルたちサブスペース（部分空間）\(V \subseteq V'\)に対して、\(d \lt d'\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(d' \le d\)であると仮定する; ステップ2: ある矛盾を見つける: \(V'\)上の、\(d'\)より多くのリニア（線形）にインディペンデント（独立）要素たちのあるセット（集合）を見つける、それは、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題への矛盾になる。
ステップ1:
\(d' \le d\)だと仮定しよう。
ステップ2:
ステップ2戦略: ステップ2-1: \(V\)のある\(d\)カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）を取る; ステップ2-2: \(V' \setminus V\)の任意の要素を取る; Sステップ2-3: 当該ベーシス（基底）に当該要素を加えたものは\(V'\)上にてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを示す。
ステップ2-1:
\(V\)はあるベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_d\}\)を持つ。
ステップ2-2:
ある\(v \in V' \setminus V\)がある。
ステップ2-3:
\(\{e_1, ..., e_d, v\}\)は\(V'\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることになることを証明しよう。
そうでないと仮定しよう。
\(c^1 e_1 + ... + c^d e_d + c v = 0\)は\((c^1, ..., c^d, c)\)に対して非ゼロ解を持つことになる。実のところ、\(c \neq 0\)である、なぜなら、そうでなければ、\(c^1 e_1 + ... + c^d e_d = 0\)、それは、\(c^j = 0\)を含意することになる、なぜなら、当該ベーシス（基底）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であった。したがって、\(v = - c^{-1} (c^1 e_1 + ... + c^d e_d)\)、\(v \notin V\)に反する矛盾。
したがって、\(\{e_1, ..., e_d, v\}\)は\(V'\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）だということになる。
したがって、\(V'\)は\(d + 1\)個のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なベクトルたちのセット（集合）を持つことになる、しかし、\(d' \lt d + 1\)、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題に反する矛盾。
したがって、\(d \lt d'\)。
