680: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、プロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つ

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、プロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のプロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{d}^{\prime }\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V$: $\in \{V^{\prime }\text{ の全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）プロパー（真）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$d<d^{\prime }$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d^{\prime }$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V^{\prime }$、任意の$d$ディメンショナル（次元）プロパー（真）ベクトルたちサブスペース（部分空間）$V\subseteq V^{\prime }$に対して、$d<d^{\prime }$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $d^{\prime }\le d$であると仮定する; ステップ2: ある矛盾を見つける: $V^{\prime }$上の、$d^{\prime }$より多くのリニア（線形）にインディペンデント（独立）要素たちのあるセット（集合）を見つける、それは、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題への矛盾になる。

ステップ1:

$d^{\prime }\le d$だと仮定しよう。

ステップ2:

ステップ2戦略: ステップ2-1: $V$のある$d$カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）を取る; ステップ2-2: $V^{\prime }\setminus V$の任意の要素を取る; Sステップ2-3: 当該ベーシス（基底）に当該要素を加えたものは$V^{\prime }$上にてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを示す。

ステップ2-1:

$V$はあるベーシス（基底）$\{e_1,...,e_d\}$を持つ。

ステップ2-2:

ある$v\in V^{\prime }\setminus V$がある。

ステップ2-3:

$\{e_1,...,e_d,v\}$は$V^{\prime }$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることになることを証明しよう。

そうでないと仮定しよう。

$c^1{e}_1+...+c^d{e}_d+cv=0$は$(c^1,...,c^d,c)$に対して非ゼロ解を持つことになる。実のところ、$c\ne 0$である、なぜなら、そうでなければ、$c^1{e}_1+...+c^d{e}_d=0$、それは、$c^j=0$を含意することになる、なぜなら、当該ベーシス（基底）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であった。したがって、$v=-c^{-1}(c^1{e}_1+...+c^d{e}_d)$、$v\notin V$に反する矛盾。

したがって、$\{e_1,...,e_d,v\}$は$V^{\prime }$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）だということになる。

したがって、$V^{\prime }$は$d+1$個のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なベクトルたちのセット（集合）を持つことになる、しかし、$d^{\prime }<d+1$、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題に反する矛盾。

したがって、$d<d^{\prime }$。

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参考資料

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