ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert S \vert = d\)、ここで、\(\vert S \vert\)は\(S\)のカーディナリティ（濃度）を表わす
\(\land\)
\(S \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（体）\(V\)に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)で\(d\)要素たちを持つものは\(V\)のあるベーシス（基底）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)を拡張してあるベーシス（基底）とする; ステップ2: \(S\)は実際には拡張されていないことを見る。
ステップ1:
\(S\)は、拡張してあるベーシス（基底）とすることができる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。
ステップ2:
しかし、もしも、いくつか正数の要素たちが加えられてベーシス（基底）になったとしたら、当該ベーシス（基底）は\(d\)より多くの要素たちを持つことになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題に反する矛盾。それが意味するのは、\(S\)は既に何も加えられることなくベーシス（基底）であるということ。
