681: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はベーシス（基底）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はベーシス（基底）であることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\in \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$|S|=d$、ここで、$|S|$は$S$のカーディナリティ（濃度）を表わす
$\wedge$
$S\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$

---

2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（体）$V$に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$S\subseteq V$で$d$要素たちを持つものは$V$のあるベーシス（基底）である。

---

3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S$を拡張してあるベーシス（基底）とする; ステップ2: $S$は実際には拡張されていないことを見る。

ステップ1:

$S$は、拡張してあるベーシス（基底）とすることができる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。

ステップ2:

しかし、もしも、いくつか正数の要素たちが加えられてベーシス（基底）になったとしたら、当該ベーシス（基底）は$d$より多くの要素たちを持つことになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題に反する矛盾。それが意味するのは、$S$は既に何も加えられることなくベーシス（基底）であるということ。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>