ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d \lt \vert S \vert\)
\(\implies\)
\(S \notin \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)に対して、\(d\)要素たちより多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であったと仮定する; ステップ2: \(S\)を拡張してあるベーシス（基底）とする; ステップ3: ある矛盾を見つける: そのようなベーシス（基底）はあり得なかった。
ステップ1:
\(S\)は\(d\)より多くの要素たちを持っていたと仮定しよう。
ステップ2:
いくつかファイナイト（有限）数のベクトルたちを\(S\)へ追加してあるベーシス（基底）を形成しよう、それは可能であろう、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。
ステップ3:
新たなベーシス（基底）はディメンション（次元）より多くの要素たちを持つことになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題に反する矛盾。
したがって、\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）でない。
