679: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はない

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq V$
//

ステートメント（言明）たち:
$d<|S|$
$⟹$
$S\notin \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$に対して、$d$要素たちより多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であったと仮定する; ステップ2: $S$を拡張してあるベーシス（基底）とする; ステップ3: ある矛盾を見つける: そのようなベーシス（基底）はあり得なかった。

ステップ1:

$S$は$d$より多くの要素たちを持っていたと仮定しよう。

ステップ2:

いくつかファイナイト（有限）数のベクトルたちを$S$へ追加してあるベーシス（基底）を形成しよう、それは可能であろう、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。

ステップ3:

新たなベーシス（基底）はディメンション（次元）より多くの要素たちを持つことになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題に反する矛盾。

したがって、$S$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）でない。

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参考資料

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