プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）に対して、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのm x nマトリックス（行列）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのインバーティブル（可逆）n x nマトリックス（行列）たち }\}\)
\(O\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのインバーティブル（可逆）m x mマトリックス（行列）たち }\}\)
\(k\): \(\in \mathbb{N}\), \(1 \le k \le min (m, n)\)
\(I_k (M)\): \(= M \text{ の全ての } k \text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }\)
\(I_k (M N)\): \(= M N \text{ の全ての } k \text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }\)
\(I_k (O M)\): \(= O M \text{ の全ての } k \text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(I_k (M N) = I_k (M)\)
\(\land\)
\(I_k (O M) = I_k (M)\)
//
即座のコロラリー（系）として、\(I_k (O M N) = I_k (M)\): \(I_k (O M N) = I_k (M N) = I_k (M)\)。
2: 自然言語記述
任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）\(R\)、\(R\)上方の任意の\(m x n\)マトリックス（行列）\(M\)、\(R\)上方の任意のインバーティブル（可逆）\(n x n\)マトリックス（行列）\(N\)、\(R\)上方の任意のインバーティブル（可逆）\(m x m\)マトリックス（行列）\(O\)、以下を満たす任意のナチュラルナンバー（自然数）\(k\)、つまり、\(1 \le k \le min (m, n)\)、\(M\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）\(I_k (M)\)、\(M N\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）\(I_k (M N)\)、\(O M\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）\(I_k (O M)\)に対して、\(I_k (M N) = I_k (M)\)および\(I_k (O M) = I_k (M)\)。
3: 証明
一般に、任意のマトリックス（行列）\(A\)に対して、\(I_k (A)\)は、\(A\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）を表わす。
\(I_k (M N) \subseteq I_k (M)\)、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。
あるインバース（逆）\(N^{-1}\)がある。
\(I_k (M) = I_k (M N N^{-1}) \subseteq I_k (M N)\)、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。
したがって、\(I_k (M N) = I_k (M)\)。
\(I_k (O M) \subseteq I_k (M)\)、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。
あるインバース（逆）\(O^{-1}\)がある。
\(I_k (M) = I_k (O^{-1} O M) \subseteq I_k (O M)\)、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。
したがって、\(I_k (O M) = I_k (M)\)。
