669: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）に対して、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）である

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プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）に対して、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$M$: $\in \{R\text{ 上方の全てのm x nマトリックス（行列）たち }\}$
$N$: $\in \{R\text{ 上方の全てのインバーティブル（可逆）n x nマトリックス（行列）たち }\}$
$O$: $\in \{R\text{ 上方の全てのインバーティブル（可逆）m x mマトリックス（行列）たち }\}$
$k$: $\in \mathbb{N}$, $1\le k\le min(m,n)$
$I_k(M)$: $=M\text{ の全ての }k\text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }$
$I_k(MN)$: $=MN\text{ の全ての }k\text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }$
$I_k(OM)$: $=OM\text{ の全ての }k\text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$I_k(MN)=I_k(M)$
$\wedge$
$I_k(OM)=I_k(M)$
//

即座のコロラリー（系）として、$I_k(OMN)=I_k(M)$: $I_k(OMN)=I_k(MN)=I_k(M)$。

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2: 自然言語記述

任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）$R$、$R$上方の任意の$mxn$マトリックス（行列）$M$、$R$上方の任意のインバーティブル（可逆）$nxn$マトリックス（行列）$N$、$R$上方の任意のインバーティブル（可逆）$mxm$マトリックス（行列）$O$、以下を満たす任意のナチュラルナンバー（自然数）$k$、つまり、$1\le k\le min(m,n)$、$M$の全ての$k$ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）$I_k(M)$、$MN$の全ての$k$ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）$I_k(MN)$、$OM$の全ての$k$ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）$I_k(OM)$に対して、$I_k(MN)=I_k(M)$および$I_k(OM)=I_k(M)$。

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3: 証明

一般に、任意のマトリックス（行列）$A$に対して、$I_k(A)$は、$A$の全ての$k$ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）を表わす。

$I_k(MN)\subseteq I_k(M)$、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。

あるインバース（逆）$N^{-1}$がある。

$I_k(M)=I_k(MN{N}^{-1})\subseteq I_k(MN)$、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。

したがって、$I_k(MN)=I_k(M)$。

$I_k(OM)\subseteq I_k(M)$、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。

あるインバース（逆）$O^{-1}$がある。

$I_k(M)=I_k(O^{-1}OM)\subseteq I_k(OM)$、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題によって。

したがって、$I_k(OM)=I_k(M)$。

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参考資料

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