668: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のスクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されている|T.B.P.日本語版

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プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のスクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されていることの記述/証明

話題

About: リング（環）

開始コンテキスト

読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

R

\in {全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち}

M

\in {R 上方の全てのm x nマトリックス（行列）たち}

N

\in {R 上方の全てのn x nマトリックス（行列）たち}

O

\in {R 上方の全てのm x mマトリックス（行列）たち}

k

\in N

1 \leq k \leq m i n (m, n)

I_{k} (M)

= M の全ての k -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）

I_{k} (M N)

= M N の全ての k -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）

I_{k} (O M)

= O M の全ての k -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）

//

ステートメント（言明）たち:

I_{k} (M N) \subseteq I_{k} (M)

\land

I_{k} (O M) \subseteq I_{k} (M)

//

即座のコロラリー（系）として、

I_{k} (O M N) \subseteq I_{k} (M)

I_{k} (O M N) \subseteq I_{k} (M N) \subseteq I_{k} (M)

。

2: 自然言語記述

任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）

R

、

R

上方の任意の

m x n

マトリックス（行列）

M

、

R

上方の任意の

n x n

マトリックス（行列）

N

、

R

上方の任意の

m x m

マトリックス（行列）

O

、以下を満たす任意のナチュラルナンバー（自然数）

k

、つまり、

1 \leq k \leq m i n (m, n)

、

M

の全ての

k

ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）

I_{k} (M)

、

M N

の全ての

k

ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）

I_{k} (M N)

、

O M

の全ての

k

ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）

I_{k} (O M)

に対して、

I_{k} (M N) \subseteq I_{k} (M)

および

I_{k} (O M) \subseteq I_{k} (M)

。

3: 証拠

一般に、任意のマトリックス（行列）

A

に対して、

I_{k} (A)

は、

A

の全ての

k

ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）を表わす。

これ以降、任意のマトリックス（行列）

A

の

(j, l)

コンポーネントを

A_{l}^{j}

と;

A

の

l

番目列を

A_{l}

と;

A

の

B = {r_{1}, . . ., r_{k}}

列たちによるサブマトリックス（部分行列）を

A (B)

と、表わそう。

M N = (\begin{matrix} \sum_{j_{1} \in {1, . . ., n}} M_{j_{1}} N_{1}^{j_{1}}, . . ., \sum_{j_{m} \in {1, . . ., n}} M_{j_{m}} N_{m}^{j_{m}} \end{matrix})

。

M N

の

B := {r_{1}, . . ., r_{k}}

行たちおよび

{c_{1}, . . ., c_{k}}

列たちによる

k x k

サブマトリックス（部分行列）を取ろう: それは、

(\begin{matrix} \sum_{j_{1} \in {1, . . ., n}} M (B)_{j_{1}} N_{c_{1}}^{j_{1}}, . . ., \sum_{j_{k} \in {1, . . ., n}} M (B)_{j_{k}} N_{c_{k}}^{j_{k}} \end{matrix})

。

そのデターミナント（行列式）は、

| (\begin{matrix} \sum_{j_{1} \in {1, . . ., n}} M (B)_{j_{1}} N_{c_{1}}^{j_{1}}, . . ., \sum_{j_{k} \in {1, . . ., n}} M (B)_{j_{k}} N_{c_{k}}^{j_{k}} \end{matrix}) | = \sum_{j_{1} \in {1, . . ., n}} N_{c_{1}}^{j_{1}} | (\begin{matrix} M (B)_{j_{1}}, . . ., \sum_{j_{k} \in {1, . . ., n}} M (B)_{j_{k}} N_{c_{k}}^{j_{k}} \end{matrix}) |

（なぜなら、デターミナント（行列式）は各列に関してリニア（線形）である）、

= . . . = \sum_{j_{1} \in {1, . . ., n}} . . . \sum_{j_{k} \in {1, . . ., n}} N_{c_{1}}^{j_{1}} . . . N_{c_{k}}^{j_{k}} | (\begin{matrix} M (B)_{j_{1}}, . . ., M (B)_{j_{k}} \end{matrix}) |

。

{j_{1}, . . ., j_{k}}

が重複を持つ時、その項は

0

である; そうでなければ、その項は、

M

の当該

k x k

サビデターミナント（部分行列式）の倍数である。

したがって、

M N

の各

k x k

サブデターミナント（部分行列式）は、

M

のいくつかの

k x k

サブデターミナント（部分行列式）たちのリニアコンビネーション（線形結合）である。

したがって、

I_{k} (M N)

の各要素は

M N

の

k x k

サブデターミナント（部分行列式）たちのリニアコンビネーション（線形結合）であるところ、それは

M

の

k x k

サブデターミナント（部分行列式）たちのリニアコンビネーション（線形結合）である、それが意味するのは、それは

I_{k} (M)

の要素であるということ。

O M

の全ての

k x k

サブデターミナント（部分行列式）たちのセット（集合）は

(O M)^{t}

の全ての

k x k

サブデターミナント（部分行列式）たちのセット（集合）に等しい、ここで、

(O M)^{t}

は

O M

のトランスポジション（転置）、なぜなら、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のトランスポジション（転置）は元のマトリックス（行列）と同一デターミナント（行列式）を持つ。

(O M)^{t} = M^{t} O^{t}

。

I_{k} (O M) = I_{k} (M^{t} O^{t}) \subseteq I_{k} (M^{t}) = I_{k} (M)

。

参考資料

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2024年7月7日日曜日

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1: 構造化された記述

2: 自然言語記述

3: 証拠

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