プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のスクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されていることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのm x nマトリックス（行列）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのn x nマトリックス（行列）たち }\}\)
\(O\): \(\in \{R \text{ 上方の全てのm x mマトリックス（行列）たち }\}\)
\(k\): \(\in \mathbb{N}\), \(1 \le k \le min (m, n)\)
\(I_k (M)\): \(= M \text{ の全ての } k \text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }\)
\(I_k (M N)\): \(= M N \text{ の全ての } k \text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }\)
\(I_k (O M)\): \(= O M \text{ の全ての } k \text{ -ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(I_k (M N) \subseteq I_k (M)\)
\(\land\)
\(I_k (O M) \subseteq I_k (M)\)
//
即座のコロラリー（系）として、\(I_k (O M N) \subseteq I_k (M)\): \(I_k (O M N) \subseteq I_k (M N) \subseteq I_k (M)\)。
2: 自然言語記述
任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）\(R\)、\(R\)上方の任意の\(m x n\)マトリックス（行列）\(M\)、\(R\)上方の任意の\(n x n\)マトリックス（行列）\(N\)、\(R\)上方の任意の\(m x m\)マトリックス（行列）\(O\)、以下を満たす任意のナチュラルナンバー（自然数）\(k\)、つまり、\(1 \le k \le min (m, n)\)、\(M\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）\(I_k (M)\)、\(M N\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）\(I_k (M N)\)、\(O M\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）\(I_k (O M)\)に対して、\(I_k (M N) \subseteq I_k (M)\)および\(I_k (O M) \subseteq I_k (M)\)。
3: 証拠
一般に、任意のマトリックス（行列）\(A\)に対して、\(I_k (A)\)は、\(A\)の全ての\(k\)ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）を表わす。
これ以降、任意のマトリックス（行列）\(A\)の\((j, l)\)コンポーネントを\(A^j_l\)と; \(A\)の\(l\)番目列を\(A_l\)と; \(A\)の\(B = \{r_1, ..., r_k\}\)列たちによるサブマトリックス（部分行列）を\(A (B)\)と、表わそう。
\(M N = \begin{pmatrix} \sum_{j_1 \in \{1, ..., n\}} M_{j_1} N^{j_1}_1, ..., \sum_{j_m \in \{1, ..., n\}} M_{j_m} N^{j_m}_m \end{pmatrix}\)。
\(M N\)の\(B := \{r_1, ..., r_k\}\)行たちおよび\(\{c_1, ..., c_k\}\)列たちによる\(k x k\)サブマトリックス（部分行列）を取ろう: それは、\(\begin{pmatrix} \sum_{j_1 \in \{1, ..., n\}} M (B)_{j_1} N^{j_1}_{c_1}, ..., \sum_{j_k \in \{1, ..., n\}} M (B)_{j_k} N^{j_k}_{c_k} \end{pmatrix}\)。
そのデターミナント（行列式）は、\(\vert \begin{pmatrix} \sum_{j_1 \in \{1, ..., n\}} M (B)_{j_1} N^{j_1}_{c_1}, ..., \sum_{j_k \in \{1, ..., n\}} M (B)_{j_k} N^{j_k}_{c_k} \end{pmatrix} \vert = \sum_{j_1 \in \{1, ..., n\}} N^{j_1}_{c_1} \vert \begin{pmatrix} M (B)_{j_1}, ..., \sum_{j_k \in \{1, ..., n\}} M (B)_{j_k} N^{j_k}_{c_k} \end{pmatrix} \vert\)（なぜなら、デターミナント（行列式）は各列に関してリニア（線形）である）、\(= ... = \sum_{j_1 \in \{1, ..., n\}} ... \sum_{j_k \in \{1, ..., n\}} N^{j_1}_{c_1} ... N^{j_k}_{c_k} \vert \begin{pmatrix} M (B)_{j_1}, ..., M (B)_{j_k} \end{pmatrix} \vert\)。
\(\{j_1, ..., j_k\}\)が重複を持つ時、その項は\(0\)である; そうでなければ、その項は、\(M\)の当該\(k x k\)サビデターミナント（部分行列式）の倍数である。
したがって、\(M N\)の各\(k x k\)サブデターミナント（部分行列式）は、\(M\)のいくつかの\(k x k\)サブデターミナント（部分行列式）たちのリニアコンビネーション（線形結合）である。
したがって、\(I_k (M N)\)の各要素は\(M N\)の\(k x k\)サブデターミナント（部分行列式）たちのリニアコンビネーション（線形結合）であるところ、それは\(M\)の\(k x k\)サブデターミナント（部分行列式）たちのリニアコンビネーション（線形結合）である、それが意味するのは、それは\(I_k (M)\)の要素であるということ。
\(O M\)の全ての\(k x k\)サブデターミナント（部分行列式）たちのセット（集合）は\((O M)^t\)の全ての\(k x k\)サブデターミナント（部分行列式）たちのセット（集合）に等しい、ここで、\((O M)^t\)は\(O M\)のトランスポジション（転置）、なぜなら、任意のスクウェアマトリックス（正方行列）のトランスポジション（転置）は元のマトリックス（行列）と同一デターミナント（行列式）を持つ。\((O M)^t = M^t O^t\)。\(I_k (O M) = I_k (M^t O^t) \subseteq I_k (M^t) = I_k (M)\)。
