670: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対するスミスノーマルフォーム（正規形）定理

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プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対するスミスノーマルフォーム（正規形）定理の記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがあるという命題を認めている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）に対してスミスノーマルフォーム（正規形）定理が成立するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$M$: $\in \{R\text{ 上方の全てのm x nマトリックス（行列）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }N\in \{R\text{ 上方の全てのn x nインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たち }\},\mathrm{\exists }O\in \{R\text{ 上方の全てのm x mインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たち }\}$
(
$\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }0\le k\le min(m,n)$
(
$OMN\text{ で、以下を満たすもの、つまり、左上 }kxk\text{ サブマトリックス（部分行列）は、以下を満たす非ゼロダイアゴナル（対角）コンポーネントたち }(d_1,...,d_k)、\mathrm{つ}\mathrm{ま}\mathrm{り}、d_j|d_{j+1}$、\text{ を持つダイアゴナル（対角）で、他の全てのコンポーネントたちは } $0$である
$\wedge$
$\text{ 当該フォームは、 }{d}_j\text{ をあるユニットでかけることを除いてユニークである }$
)
)
//

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2: 自然言語記述

任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）$R$、$R$上方の任意の$mxn$マトリックス（行列）$M$に対して、$R$上方のある$nxn$インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）$N$、$R$上方のある$mxm$インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）$O$、以下を満たすある$k\in \mathbb{N}$、つまり、$0\le k\le min(m,n)$、があり、$OMN$は以下を満たす、つまり、左上$kxk$サブマトリックス（部分行列）は、以下を満たす非ゼロダイアゴナル（対角）コンポーネントたち$(d_1,...,d_k)$、つまり、$d_j|d_{j+1}$、を持ってダイアゴナル（対角）であって他の全てのコンポーネントたちは$0$である、そして、当該フォームは、$d_j$にあるユニットをかけることを除いてユニークである。

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3: 証明

$max(m,n)$に関してインダクティブ（帰納的）に証明しよう。

$max(m,n)=1$である時、本命題は明らかに成立する: $N$または$O$は$R$の要素であり、それがインバーティブル（可逆）であることは、それがユニットであることを意味する。

本命題は$max(m,n)=n^{\prime }$まで成立すると仮定しよう。

$max(m,n)=n^{\prime }+1$であると仮定しよう。

$M$の各コンポーネントを$M_l^j$と表わそう。

$R$は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインである、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって。

$R$の各要素はディコンポーズド（分解される）でファクター（因子）たちとしてのイリデューシブル（約分不能）要素たちの数はユニークである。したがって、マップ（写像）$f:R\to \mathbb{N}$で、当該要素をファクターたちとしてのイリデューシブル（約分不能）要素たちの数へマップするもののことを考えよう。

これ以降、私たちは、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがあるという命題を用いる、それは、私たちが使う行たちまたは列たちオペレーションたちはインバーティブルマトリックス（可逆行列）による積として表現されることを保証する。

$M$の全てのコンポーネントたちが$0$である時、本命題は当然成立する。

これ以降は、$M$のコンポーネントたちの内の少なくとも1つは非ゼロであると仮定しよう。

$M$の以下を満たす任意の非ゼロコンポーネントを取ろう、つまり、その$f$の下での値は全ての非ゼロコンポーネントたちの内で最小である: もしも、そういう複数のものがあれば、それらの内から任意の1つを選ぶ。

当該コンポーネントを$(1,1)$位置へ、行たち列たちをスワップ（入れ替え）することによって移そう、そして、当該マトリックス（行列）を$M^{\prime }$と表わそう。

2つのケースたちがある: ケース1: 全てのコンポーネントたちは$M_1^{\prime 1}$で割れる; ケース2: それ以外。

ケース1を仮定しよう。

$1<j$である各$M_1^{\prime j}$に対して、$M_1^{\prime j}=q_j{M}_1^{\prime 1}$、そして、1番目行の$-q_j$倍を$j$番目行へ加えよう。すると、$M_1^{\prime j}-q_j{M}_1^{\prime 1}=0$。したがって、第1列は今や$(1,1)$コンポーネントを除いて$0$である。

$1<l$である各$M_l^{\prime 1}$に対して、$M_l^{\prime 1}=q_l{M}_1^{\prime 1}$、そして、1番目列の$-q_l$倍を$l$番目列へ加えよう。すると、$M_l^{\prime 1}-q_l{M}_1^{\prime 1}=0$。したがって、1番目行は今や$(1,1)$コンポーネントの除いて$0$である。注意として、1番目列は、それによって乱されることはなかった。

残りの$(m-1)x(n-1)$マトリックス（行列）は、あるスミスノーマルフォーム（正規形）へ変形することができ、ダイアゴナル（対角）コンポーネントたち$d_2,...,d_k$を持つ、インダクション（帰納法）仮定によって。それは、インバーティブル（可逆）$mxm$マトリックス（行列）およびインバーティブル（可逆）$nxn$マトリックス（行列）で、$(1,1)$コンポーネントたち$1$を除いて1番目行たちおよび1番目列たちが$0$であるものによって行なえる。

さて、$M_1^{\prime 1}=d_1$と名付けると、結果は、スミスノーマルフォーム（正規形）であり、ダイアゴナル（対角）コンポーネントたち$d_1,...,d_k$である、なぜなら、$d_1|d_2$、なぜなら、$d_2$は$M^{\prime }$のコンポーネントたちのリニアコンビネーション（線形結合）であるが、各コンポーネントは$d_1$で割れる。

ケース2を仮定しよう。

$M_1^{\prime 1}$によって割れない少なくとも$1$つのコンポーネントがある。

3つのサブケースたちがある: ケース2-1: 1番目列はある割れないコンポーネントを持つ; ケース2-2: ケース2-1ではないが、1番目行はある割れないコンポーネントを持つ; ケース2-3: ケース2-1でもケース2-2でもない。

ケース2-1を仮定しよう。

1番目列はある割れないコンポーネント$M_1^{\prime j}$を持ち、ある$d\in gcd(M_1^{\prime 1},M_1^{\prime j})$および以下を満たす何らかの$w,x\in R$、つまり、$w{M}_1^{\prime 1}+x{M}_1^{\prime j}=d$、がある（任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって）、そして、1番目行を、1番目行を$w$倍したものプラス$j$番目行を$x$倍したもので置き換え、$j$番目行を、1番目行を$-M_1^j/d$倍したものプラス$j$番目行を$M_1^1/d$倍したもので置き換えることによって、今や、$(1,1)$コンポーネントは$d$であり、$(j,1)$コンポーネントは$0$である。注意として、$f(d)<f(M_1^{\prime 1})$、なぜなら、$M_1^{\prime 1}$は$M_1^{\prime j}$を割れなかったから、$d$は、ファクター（因子）たちとしてより少ないイリデューシブル（約分不能）要素たちを含む。

さて、ケースたちチェックへ戻ろう（もしも、ケース1であれば、処理は終結する）。

ケース2-2を仮定しよう。

1番目行はある割れないコンポーネント$M_l^{\prime 1}$を持ち、ある$d\in gcd(M_1^{\prime 1},M_l^{\prime 1})$および以下を満たす何らかの$w,x\in R$、つまり、$w{M}_1^{\prime 1}+x{M}_l^{\prime 1}=d$、があり、1番目列を、1番目列を$w$倍したものプラス$l$番目列を$x$倍したもので置き換え、$l$番目列を、1番目列を$-M_l^1/d$倍したものプラス$l$番目列を$M_1^1/d$倍したもので置き換えることによって、今や、$(1,1)$コンポーネントは$d$であり、$(1,l)$コンポーネントは$0$である。注意として、$f(d)<f(M_1^{\prime 1})$、なぜなら、$M_1^{\prime 1}$は$M_l^{\prime 1}$を割れなかったから、$d$はファクターたちとしてより少ないイリデューシブル（約分不能）要素たちを含む。

さて、ケースたちチェックへ戻ろう（もしも、ケース1であれば、処理は終結する）。

ケース2-3を仮定しよう。

ケース1の処理を1番目列および1番目行に対して行なおう、それは可能である、なぜなら、1番目列および1番目行は割れる。

すると、当該処理が全ての割れないコンポーネントたちを消し去ったとしたら、今や、ケースたちチェックへ戻ろう、ケース1になり、処理は終結する。

そうでなければ、ある$l$番目列上にある割れないコンポーネントがある。$l$番目列を1番目列へ加えよう（$(1,1)$コンポーネントは乱されない、なぜなら、1番目行は$(1,1)$コンポーネントを除いて$0$である）。今や、ケース2-1を行おう。

$0\le f(d)<f(M_1^{\prime 1})$であるから、そのうちに、$f(d)$は0になるであろう、もしも、ケース1がその前に実現されなければ、そして、ケース1が不可避に実現される、なぜなら、$f(d)=0$は$d$がユニットであることを含意する。

したがって、スミスノーマルフォーム（正規形）が$OMN$として実現された。

当該フォームが$d_j$をあるユニット倍することを除いてユニークであることを見よう。

任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）、当該ドメイン上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）列たちディメンジョナル（次元）またはレクタングルマトリックス（長方行列）行たちディメンジョナル（次元）インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であるという命題によって、各$1\le j\le min(m,n)$に対して、$I_j(OMN)=I_j(M)$。

$OMN$の各非ゼロ$jxj$サブデターミナント（部分行列式）はあるダイアゴナル（対角）サブマトリックス（部分行列）による、なぜなら、$(1,1)$コンポーネントは非ゼロでなければならない、なぜなら、1番目行はある非ゼロコンポーネントを持たなければならないところ、もしも、最初の非ゼロコンポーネントが$1<l$の$(1,l)$コンポーネントだったら、1番目列は全てゼロであることになる、なぜなら、いかなる非ゼロコンポーネントも$l$番目列より左の列上に現われることはできない、それは、デターミナント（行列式）はゼロだったことを意味する; 同様に、$(2,2)$コンポーネントは非ゼロでなければならない、なぜなら、そうでなければ、右下$(j-1)x(j-1)$サブデターミナント（部分行列式）はゼロになり、それは、$jxj$デターミナント（行列式）をゼロにする、ラプラス展開によって; 等々と続く。

$I_j(OMN)$は全ての$jxj$サブデターミナント（部分行列式）たちのある最大共通ディバイザー（因子）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるという命題によって、ところ、そういう最大共通ディバイザー（因子）の1つは、$1\le j\le k$の時$d_1...d_j$である（$d_l|d_{l+1}$であるから）、そして、$k<j$である時$0$。

別のスミスノーマルフォーム（正規形）$O^{\prime }M{N}^{\prime }$でダイアゴナル（対角）コンポーネントたち$d_1^{\prime },...,d_{k^{\prime }}^{\prime }$を持つものがあると仮定しよう。

すると、$I_j(OMN)=I_j(O^{\prime }M{N}^{\prime })$。特に、$I_1(OMN)=I_1(O^{\prime }M{N}^{\prime })$、それは、$d_1$によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である、それは、$d_1^{\prime }$によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である。すると、あるユニットに対して$d_1^{\prime }=u_1{d}_1$、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題によって。同様に、$d_1^{\prime }{d}_2^{\prime }=u_1{d}_1{d}_2^{\prime }=u_2{d}_1{d}_2$、それが含意するのは、$d_2^{\prime }={u_1}^{-1}{u}_2{d}_2$。等々と続く。結局、各$d_j^{\prime }$は$d_j$のアソシエイトである。不可避に、$k^{\prime }=k$。

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参考資料

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