2024年7月7日日曜日

667: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがある

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プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがあることの記述/証明

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方の任意のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがあるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }
U: ∈{R の全てのユニットたち }
M: ∈{R 上方の全てのm x nマトリックス（行列）たち }
u: ∈U
t: ∈R
{r,s}: ⊆{1,...,m}
v: ∈{1,...,n}
d: ∈gcd(Mvr,Mvs)
{w,x}: ⊆R, wMvr+xMvs=d
I: = m x mアイデンティティマトリックス（単位行列） 
A(r,u): =I の (r,r)1 が u によって置き換えられたもの 
B(r,s): =I の (r,r)1 が 0 によって置き換えられ、 (r,s)0 が 1 によって置き換えられ、 (s,r)0 が 1 によって置き換えられ、 (s,s)1 が 0 によって置き換えられたもの 
C(r,s,t): =I の (s,r)0 が t によって置き換えられたもの 
D(r,s,v,d,w,x): =I の (r,r)1 が w によって置き換えられ、 (r,s)0 が x によって置き換えられ、 (s,r)0 が −Mvs/d によって置き換えられ , (s,s)1 が Mvr/d によって置き換えられたもの 
{r′,s′}: ⊆{1,...,n}
v′: ∈{1,...,m}
d′: ∈gcd(Mr′v′,Ms′v′)
{w′,x′}: ⊆R, w′Mr′v′+x′Ms′v′=d′
I′: = n x nアイデンティティマトリックス（単位行列） 
A′(r′,u): =I′ の (r′,r′)1 が u によって置き換えられたもの 
B′(r′,s′): =I′ の (r′,r′)1 が 0 によって置き換えられ、 (s′,r′)0 が 1 によって置き換えられ、 (r′,s′)0 が 1 によって置き換えられ、 (s′,s′)1 が 0 によって置き換えられたもの 
C′(r′,s′,t): =I′ の (r′,s′)0 が t によって置き換えられたもの 
D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′): =I′ の (r′,r′)1 が w′ によって置き換えられ、 (s′,r′)0 が x′ によって置き換えられ、 (r′,s′)0 が −Ms′v′/d′ によって置き換えられ、  (s′,s′)1 が Mr′v′/d′ によって置き換えられたもの 
//

ステートメント（言明）たち:
A(r,u)Mは、r番目行をu倍にする
∧
B(r,s)Mは、r番目行とs番目行をスワップ（入れ替え）する
∧
C(r,s,t)Mは、r番目行をt倍したものをs番目行に加える
∧
D(r,s,v,d,w,x)Mは、r番目行を、r番目行をw倍したものプラスs番目行をx倍したもので置き換え、s番目行を、r番目行を−Mvs/d倍したものプラスs番目行をMvr/d倍したもので置き換え、結果が、(D(r,s,v,d,w,x)M)vr=dおよび(D(r,s,v,d,w,x)M)vs=0になる
∧
∃A(r,u)−1(A(r,u)−1A(r,u)=A(r,u)A(r,u)−1=I)
∧
∃B(r,s)−1(B(r,s)−1B(r,s)=B(r,s)B(r,s)−1=I)
∧
∃C(r,s,t)−1(C(r,s,t)−1C(r,s,t)=C(r,s,t)C(r,s,t)−1=I)
∧
∃D(r,s,v,d,w,x)−1(D(r,s,v,d,w,x)−1D(r,s,v,d,w,x)=D(r,s,v,d,w,x)D(r,s,v,d,w,x)−1=I)
∧
MA′(r′,u)は、r′番目列をu倍にする
∧
MB′(r′,s′)は、r′番目列とs′番目列をスワップ（入れ替え）する
∧
MC′(r′,s′,t)は、r′番目列をt倍したものをs′番目列に加える
∧
MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)は、r′番目列を、r′番目列をw′倍したものプラスs′番目列をx′倍したもので置き換え、s′番目列を、r′番目列を−Ms′v′/d′倍したものプラスs′番目列をMr′v′/d′倍したもので置き換え、結果が、(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))r′v′=d′および(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))s′v′=0になる
∧
∃A′(r′,u)−1(A′(r′,u)−1A′(r′,u)=A′(r′,u)A′(r′,u)−1=I′)
∧
∃B′(r′,s′)−1(B′(r′,s′)−1B′(r′,s′)=B′(r′,s′)B′(r′,s′)−1=I′)
∧
∃C′(r′,s′,t)−1(C′(r′,s′,t)−1C′(r′,s′,t)=C′(r′,s′,t)C′(r′,s′,t)−1=I′)
∧
∃D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)=D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1=I′)
//

d、{w,x}、d′、{w′,x′}は存在する、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって。

2: 自然言語記述


任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）R、ユニットたちのセット（集合）U、R上方のmxnマトリックス（行列）M、任意のu∈U、任意のt∈R、任意の{r,s}⊆{1,...,m}、任意のv∈{1,...,n}、任意のd∈gcd(Mvr,Mvs)、以下を満たす任意の{w,x}⊆R、つまり、wMvr+xMvs=d、mxmアイデンティティマトリックス（単位行列）I、I の (r,r)1 が u によって置き換えられたもの A(r,u)、I の (r,r)1 が 0 によって置き換えられ、 (r,s)0 が 1 によって置き換えられ、 (s,r)0 が 1 によって置き換えられ、 (s,s)1 が 0 によって置き換えられたもの B(r,s)、I の (s,r)0 が t によって置き換えられたもの C(r,s,t)、I の (r,r)1 が w によって置き換えられ、 (r,s)0 が x によって置き換えられ、 (s,r)0 が −Mvs/d によって置き換えられ , (s,s)1 が Mvr/d によって置き換えられたもの D(r,s,v,d,w,x)に対して、A(r,u)Mは、r番目行をu倍にする、B(r,s)Mは、r番目行とs番目行をスワップ（入れ替え）する、C(r,s,t)Mは、r番目行をt倍したものをs番目行に加える、D(r,s,v,d,w,x)Mは、r番目行を、r番目行をw倍したものプラスs番目行をx倍したもので置き換え、s番目行を、r番目行を−Mvs/d倍したものプラスs番目行をMvr/d倍したもので置き換え、結果が、(D(r,s,v,d,w,x)M)vr=dおよび(D(r,s,v,d,w,x)M)vs=0になる、∃A(r,u)−1(A(r,u)−1A(r,u)=A(r,u)A(r,u)−1=I)、∃B(r,s)−1(B(r,s)−1B(r,s)=B(r,s)B(r,s)−1=I)、∃C(r,s,t)−1(C(r,s,t)−1C(r,s,t)=C(r,s,t)C(r,s,t)−1=I)、∃D(r,s,v,d,w,x)−1(D(r,s,v,d,w,x)−1D(r,s,v,d,w,x)=D(r,s,v,d,w,x)D(r,s,v,d,w,x)−1=I)。

任意の{r′,s′}⊆{1,...,n}、任意のv′∈{1,...,m}、任意のd′∈gcd(Mr′v′,Ms′v′)、以下を満たす任意の{w′,x′}⊆R、つまり、w′Mr′v′+x′Ms′v′=d′、nxnアイデンティティマトリックス（単位行列）I′、I′ の (r′,r′)1 が u によって置き換えられたもの A′(r′,u)、I′ の (r′,r′)1 が 0 によって置き換えられ、 (s′,r′)0 が 1 によって置き換えられ、 (r′,s′)0 が 1 によって置き換えられ、 (s′,s′)1 が 0 によって置き換えられたもの B′(r′,s′)、I′ の (r′,s′)0 が t によって置き換えられたもの C′(r′,s′,t)、I′ の (r′,r′)1 が w′ によって置き換えられ、 (s′,r′)0 が x′ によって置き換えられ、 (r′,s′)0 が −Ms′v′/d′ によって置き換えられ、  (s′,s′)1 が Mr′v′/d′ によって置き換えられたもの D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)に対して、MA′(r′,u)は、r′番目列をu倍にする、MB(r′,s′)は、r′番目列とs′番目列をスワップ（入れ替え）する、MC′(r′,s′,t)は、r′番目列をt倍したものをs′番目列に加える、MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)は、r′番目列を、r′番目列をw′倍したものプラスs′番目列をx′倍したもので置き換え、s′番目列を、r′番目列を−Ms′v′/d′倍したものプラスs′番目列をMr′v′/d′倍したもので置き換え、結果が、(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))r′v′=d′および(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))s′v′=0になる、∃A′(r′,u)−1(A′(r′,u)−1A′(r′,u)=A′(r′,u)A′(r′,u)−1=I′)、∃B′(r′,s′)−1(B′(r′,s′)−1B(r′,s′)=B′(r′,s′)B′(r′,s′)−1=I′)、∃C′(r′,s′,t)−1(C′(r′,s′,t)−1C′(r′,s′,t)=C′(r′,s′,t)C′(r′,s′,t)−1=I′)、∃D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)=D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1=I′)。

3: 注


Rはフィールド（体）であると仮定されていないので、ある行またはある列をRの恣意的な要素倍することは、インバーティブルマトリックス（可逆行列）として表現されないかもしれない。D(r,s,v,d,w,x)およびD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)は、その欠点を埋め合わせるために導入された: もしも、Rがフィールド（体）であると仮定されていたら、任意のDまたはD′オペレーションは、AおよびCまたはA′およびC′オペレーションたちによって実行できたものである。

本命題は、それらが可能なオペレーションたちの全てであるとは主張しない; それらオペレーションたちは、Mをあるスミスノーマルフォーム（正規形）へ導くために挙げられたのである。

4: 証明


これ以降、任意のマトリックス（行列）Nの(j,k)コンポーネントをNkjとして表記しよう。

A(r,u)Mはr番目行をu倍にする、ということを見よう。

(A(r,u)M)lj=∑kA(r,u)kjMlk=A(r,u)jjMlj。

j≠rである時、=Mlj。j=rである時、=uMlr。

それが意味するのは、r番目行のみがu倍されるということ。

∃A(r,u)−1(A(r,u)−1A(r,u)=A(r,u)A(r,u)−1=I)、であることを見よう。

A(r,u)−1を、Iの(r,r) 1がu−1によって置き換えられたものと定義しよう。

(A(r,u)−1A(r,u))lj=∑kA(r,u)−1kjA(r,u)lk=A(r,u)−1jjA(r,u)lj。j≠lである時、=0。j=lである時、=A(r,u)−1jjA(r,u)jj; j≠rである時、=11=1; j=rである時、=u−1u=1。

したがって、A(r,u)−1A(r,u)=I。

(A(r,u)A(r,u)−1)lj=∑kA(r,u)kj(A(r,u)−1)lk=A(r,u)jj(A(r,u)−1)lj。j≠lである時、=0。j=lである時、=A(r,u)jj(A(r,u)−1)jj; j≠rである時、=11=1; j=rである時、=A(r,u)rr(A(r,u)−1)rr=uu−1=1。

したがって、A(r,u)A(r,u)−1=I。

B(r,s)Mはr番目行とs番目行をスワップ（入れ替え）する、ことを見よう。

(B(r,s)M)lj=∑kB(r,s)kjMlk。

j∉{r,s}である時、=B(r,s)jjMlj=Mlj。

j=rである時、=∑kB(r,s)krMlk=Mls。

j=sである時、=∑kB(r,s)ksMlk=Mlr。

それが意味するのは、r番目行とs番目行がスワップ（入れ替え）されるということ。

∃B(r,s)−1(B(r,s)−1B(r,s)=B(r,s)B(r,s)−1=I)であることを見よう。

B(r,s)−1:=B(r,s)と定義しよう。

(B(r,s)−1B(r,s))lj=∑kB(r,s)kjB(r,s)lk。

j∉{r,s}である時、=B(r,s)jjB(r,s)lj=B(r,s)lj=δlj。

j=rである時、=∑kB(r,s)krB(r,s)lk=B(r,s)ls、それは、l=rである時、1で、その他の時、0。

j=sである時、=∑kB(r,s)ksB(r,s)lk=B(r,s)lr、それは、l=sである時、1、その他の時、0。

したがって、B(r,s)−1B(r,s)=B(r,s)B(r,s)−1=I。

C(r,s,t)Mはr番目行をt倍したものをs番目行に加える、ことを見よう。

(C(r,s,t)M)lj=∑kC(r,s,t)kjMlk。

j≠sである時、=∑kC(r,s,t)jjMlj=Mlj。

j=sである時、=∑kC(r,s,t)ksMlk=tMlr+Mls。

それが意味するのは、r番目行をt倍したものがs番目行に加えられるということ。

∃C(r,s,t)−1(C(r,s,t)−1C(r,s,t)=C(r,s,t)C(r,s,t)−1=I)、であることを見よう。

C(r,s,t)−1を、Iの(s,r) 0が−tによって置き換えられたものと定義しよう。

(C(r,s,t)−1C(r,s,t))lj=∑k(C(r,s,t)−1)kjC(r,s,t)lk。

j≠sである時、=(C(r,s,t)−1)jjC(r,s,t)lj=C(r,s,t)lj=δlj。

j=sである時、=∑k(C(r,s,t)−1)ksC(r,s,t)lk=−tC(r,s,t)lr+1C(r,s,t)ls; l=sである時、=−t0+11=1; l=rである時、=−t1+1t=0; その他の時、=−t0+10=0。

したがって、C(r,s,t)−1C(r,s,t)=I。

(C(r,s,t)C(r,s,t)−1)lj=∑kC(r,s,t)kj(C(r,s,t)−1)lk。

j≠sである時、=C(r,s,t)jj(C(r,s,t)−1)lj=(C(r,s,t)−1)lj=δlj。

j=sである時、=∑kC(r,s,t)ks(C(r,s,t)−1)lk=t(C(r,s,t)−1)lr+1(C(r,s,t)−1)ls; l=sである時、=t0+11=1; l=rである時、=t1+1(−t)=0; その他の時、=t0+0=0。

したがって、C(r,s,t)C(r,s,t)−1=I。

D(r,s,v,d,w,x)Mはr番目行を、r番目行をw倍したものプラスs番目行をx倍したもので置き換え、s番目行を、r行を−Mvs/d倍したものプラスs番目行をMvr/d倍したものによって置き換える、ことを見よう。

(D(r,s,v,d,w,x)M)lj=∑kD(r,s,v,d,w,x)kjMlk。

j∉{r,s}である時、=∑kD(r,s,v,d,w,x)jjMlj=Mlj。

j=rである時、=∑kD(r,s,v,d,w,x)krMlk=wMlr+xMls。特に、(D(r,s,v,d,w,x)M)vr=wMvr+xMvs=d。

j=sである時、=∑kD(r,s,v,d,w,x)ksMlk=(−Mvs/d)Mlr+(Mvr/d)Mls。特に、(D(r,s,v,d,w,x)M)vs=(−Mvs/d)Mvr+(Mvr/d)Mvs=0。

それが意味するのは、r番目行は、r番目行をw倍したものプラスs番目行をx倍したもので置き換えられ、s番目行は、r番目行を−Mvs/d倍したものプラスs番目行をMvr/d倍したもので置き換えられるということ。

∃D(r,s,v,d,w,x)−1(D(r,s,v,d,w,x)−1D(r,s,v,d,w,x)=D(r,s,v,d,w,x)D(r,s,v,d,w,x)−1=I)であることを見よう。

D(r,s,v,d,w,x)−1を、Iの(r,r) 1がMvr/dによって置き換えられ、(r,s) 0が−xによって置き換えられ、(s,r) 0がMvs/dによって置き換えられ、(s,s) 1がwによって置き換えられたものとしよう。

以下が後に使われる: wMvr+xMvs=dから、w(Mvr/d)d+x(Mvs/d)d=(w(Mvr/d)+x(Mvs/d))d=d=1d、それが含意するのは、w(Mvr/d)+x(Mvs/d)=1、任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題によって。

(D(r,s,v,d,w,x)−1D(r,s,v,d,w,x))lj=∑k(D(r,s,v,d,w,x)−1)kjD(r,s,v,d,w,x)lk。

j∉{r,s}である時、=∑k(D(r,s,v,d,w,x)−1)jjD(r,s,v,d,w,x)lj=1D(r,s,v,d,w,x)lj=δlj。

j=rである時、=∑k(D(r,s,v,d,w,x)−1)krD(r,s,v,d,w,x)lk=(Mvr/d)D(r,s,v,d,w,x)lr+−xD(r,s,v,d,w,x)ls; l=sである時、=(Mvr/d)x+−x(Mvr/d)=0; l=rである時、=(Mvr/d)w+−x(−Mvs/d)=w(Mvr/d)+x(Mvs/d)=1; その他の時、=(Mvr/d)0+−x0=0。

したがって、D(r,s,v,d,w,x)−1D(r,s,v,d,w,x)=I。

(D(r,s,v,d,w,x)D(r,s,v,d,w,x)−1)lj=∑kD(r,s,v,d,w,x)kj(D(r,s,v,d,w,x)−1)lk。

j∉{r,s}である時、=D(r,s,v,d,w,x)jj(D(r,s,v,d,w,x)−1)lj=1(D(r,s,v,d,w,x)−1)lj=δlj。

j=rである時、=∑kD(r,s,v,d,w,x)kr(D(r,s,v,d,w,x)−1)lk=w(D(r,s,v,d,w,x)−1)lr+x(D(r,s,v,d,w,x)−1)ls; l=sである時、=w(−x)+xw=0; l=rである時、=w(Mvr/d)+x(Mvs/d)=1; その他の時、=w0+x0=0。

したがって、D(r,s,v,d,w,x)D(r,s,v,d,w,x)−1=I。

Let us see that MA′(r′,u) multiplies the r′-th column by u. MA′(r′,u)はr′番目列をu倍にすることを見よう。

(MA′(r′,u))lj=∑kMkjA′(r′,u)lk=MljA′(r′,u)ll。

l≠r′である時、=Mlj。l=r′である時、=Mr′ju。

それが意味するのは、r′番目列だけがu倍されるということ。

∃A′(r′,u)−1(A′(r′,u)−1A′(r′,u)=A′(r′,u)A′(r′,u)−1=I′)であることを見よう。

A′(r′,u)−1を、I′の(r′,r′) 1がu−1によって置き換えられたものとしよう。

A′(r′,u)−1A′(r′,u)=A′(r′,u)A′(r′,u)−1=I′は、A(r,u)ケースと同じである。

MB′(r′,s′)はr′番目列とs′番目列をスワップ（入れ替え）することを見よう。

(MB′(r′,s′))lj=∑kMkjB′(r′,s′)lk。

l∉{r′,s′}である時、=MljB′(r′,s′)ll=Mlj。

l=r′である時、=∑kMkjB′(r′,s′)r′k=Ms′j。

l=s′である時、=∑kMkjB′(r′,s′)s′k=Mr′j。

それが意味するのは、r′番目列とs′番目列はスワップ（入れ替え）されるということ。

∃B′(r′,s′)−1(B′(r′,s′)−1B′(r′,s′)=B′(r′,s′)B′(r′,s′)−1=I′)であることを見よう。

B′(r′,s′)−1:=B′(r′,s′)と定義しよう。

B′(r′,s′)−1B′(r′,s′)=B′(r′,s′)B′(r′,s′)−1=I′は、B(r,s)ケースと同じである。

MC′(r′,s′,t)はr′番目列をt倍したものをs′番目列へ加えることを見よう。

(MC′(r′,s′,t))lj=∑kMkjC′(r′,s′,t)lk。

l≠s′である時、=MljC′(r′,s′,t)ll=Mlj。

l=s′である時、=∑kMkjC′(r′,s′,t)s′k=Mr′jt+Ms′j。

それが意味するのは、r′番目列をt倍したものがs′番目列に加えられるということ。

∃C′(r′,s′,t)−1(C′(r′,s′,t)−1C′(r′,s′,t)=C′(r′,s′,t)C′(r′,s′,t)−1=I′)であることを見よう。

C′(r′,s′,t)−1を、I′の(r′,s′) 0が−tによって置き換えられたものと定義しよう。

C′(r′,s′,t)−1C′(r′,s′,t)=C′(r′,s′,t)C′(r′,s′,t)−1=I′は、C(r,s,t)ケースと同じである。

MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)はr′番目列を、r′番目列をw′倍したものプラスs′番目列をx′倍したもので置き換え、s′番目列を、r′番目列を−Ms′v′/d′倍したものプラスs′番目列をMr′v′/d′倍したもので置き換える、ことを見よう。

(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))lj=∑kMkjD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)lk。

l∉{r′,s′}である時、=∑kMljD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)ll=Mlj。

l=r′である時、=∑k∑kMkjD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)r′k=Mr′jw′+Ms′jx′。特に、(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))r′v′=Mr′v′w′+Ms′v′x′=d′。

l=s′である時、=∑kMkjD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)s′k=Mr′j(−Ms′v′/d′)+Ms′j(Mr′v′/d′)。特に、(MD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))s′v′=Mr′v′(−Ms′v′/d′)+Ms′v′(Mr′v′/d′)=0。

それが意味するのは、r′番目列は、r′番目列をw′倍したものプラスs′番目列をx′倍したもので置き換えられ、s′番目列は、r′番目列を−Ms′v′/d′倍したものプラスs′番目列をMr′v′/d′倍したもので置き換えられる、ということ。

∃D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)=D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1=I′)であることを見よう。

D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1を、I′の(r′,r′) 1がMr′v′/d′によって置き換えられ、(s′,r′) 0が−x′によって置き換えられ、(r′,s′) 0がMs′v′/d′によって置き換えられ、(s′,s′) 1がw′によって置き換えられたものとしよう。

以下は後に使われる: w′Mr′v′+x′Ms′v′=d′から、w′(Mr′v′/d′)d′+x′(Ms′v′/d′)d′=(w′(Mr′v′/d′)+x′(Ms′v′/d′))d′=d′=1d′、それが含意するのは、w′(Mr′v′/d′)+x′(Ms′v′/d′)=1、任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題によって。

(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′))lj=∑k(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)kjD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)lk。

l∉{r′,s′}である時、=∑k(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)ljD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)ll=(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)lj1=δlj。

l=r′である時、=∑k(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)kjD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)r′k=(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)r′jw′+(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)s′jx′; j=s′である時、=(−x′)w′+w′x′=0; j=r′である時、=(Mr′v′/d′)w′+(Ms′v′/d′)x′=w′(Mr′v′/d′)+x′(Ms′v′/d′)=1; その他の時、=0w′+0x′=0。

したがって、D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)=I′。

(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)lj=∑kD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)kj(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)lk。

l∉{r′,s′}である時、=D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)lj(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)ll=D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)lj=δlj。

l=r′である時、=∑kD′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)kj(D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1)r′k=D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)r′j(Mr′v′/d′)+D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)s′j(−x′); j=s′である時、=x′(Mr′v′/d′)+(Mr′v′/d′)(−x′)=0; j=r′である時、=w′(Mr′v′/d′)+(−Ms′v′/d′)(−x′)=w′(Mr′v′/d′)+x′(Ms′v′/d′)=1; その他の時、=0(Mr′v′/d′)+0(−x′)=0。

したがって、D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)D′(r′,s′,v′,d′,w′,x′)−1=I′。

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