インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方の任意のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(R [x]\): \(= R \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(R [x]\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のインテグラルドメイン（整域）\(R\)に対して、\(R\)上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）\(R [x]\)はインテグラルドメイン（整域）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(R [x]\)は非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る; ステップ2: 任意の2要素たちのマルチプリケーション（積）が0であることは当該要素たちの内の1つが0であることを含意する、という資格を証明する。
ステップ1:
\(R\)は非ゼロであるから、\(R [x]\)は非ゼロである、なぜなら、\(R\)の任意の非ゼロ要素は\(R [x]\)内にコンスタント（定数）として含まれている。
\(R [x]\)はコミュータティブ（可換）リング（環）である、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義に対する"注"内に示されているとおり。
ステップ 2:
以下を満たす各\(p (x), p' (x) \in R [x]\)、つまり、\(p (x) p' (x) = 0\)、に対して、\(p (x) = 0\) or \(p' (x) = 0\)であることを証明しよう。
ステップ2戦略: ステップ2-1: \(p (x)\)はn次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持ち\(0 \le n\)および\(p (x) \neq 0\)であり、\(p' (x)\)はm次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持つと仮定し、\(p' (x) = 0\)であることを見る; ステップ2-2: \(p' (x)\)はm次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持ち\(0 \le m\)および\(p' (x) \neq 0\)であり、\(p (x)\)はn次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持つと仮定し、\(p (x) = 0\)であることを見る。
実のところ、ステップ2-2は、\(R [x]\)はコミュータティブ（可換）であるという知られた事実によって不必要である、しかし、それにかかわらず私たちはそれをする、楽しみのために。
ステップ2-1:
\(p (x) = p_n x^n + ...+ p_0\)で\(p_n \neq 0\)および\(p' (x) = p'_m x^m + ... + p'_0\)であると仮定しよう。\(p_n\)は、\(n = 0\)である時\(p_0\)であるかもしれない。\(p' (x)\)に対する仮定は、\(p' (x)\)は\(m\)に等しいか小さい次数のものであることを意味し、それは一般性を失わない。
\(p_n p'_m\)は\(0\)でなければならない、なぜなら、それは、\(n + m\)次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、\(p'_m = 0\)、なぜなら、\(p_n \neq 0\)で\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
すると、\(p_n p'_{m - 1}\)は\(0\)でなければならない、なぜなら、それは、\(n + m - 1\)次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、\(p'_{m - 1} = 0\)、なぜなら、\(p_n \neq 0\)および\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
等々と続く、結局、\(p_n p'_0\)は\(0\)でなければならない、なぜなら、それは、\(n\)次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、\(p'_0 = 0\)、なぜなら、\(p_n \neq 0\)で\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
したがって、\(p' (x)\)の全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)である、したがって、\(p' (x) = 0\)。
ステップ2-2:
\(p' (x) = p'_m x^m + ...+ p'_0\)で\(p'_m \neq 0\)および\(p (x) = p_n x^n + ... + p_0\)であると仮定しよう。\(p'_m\)は、\(m = 0\)である時\(p'_0\)であるかもしれない。\(p (x)\)に対する仮定は、\(p (x)\)は\(n\)に等しいか小さい次数のものであることを意味し、それは一般性を失わない。
\(p_n p'_m\)は\(0\)でなければならない、なぜなら、それは、\(n + m\)次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、\(p_n = 0\)なぜなら、\(p'_m \neq 0\)で\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
すると、\(p_{n - 1} p'_m\)は\(0\)でなければならない、なぜなら、それは、\(n - 1 + m\)次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、\(p_{n - 1} = 0\)、なぜなら、\(p'_m \neq 0\)および\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
等々と続く、結局、\(p_0 p'_m\)は\(0\)でなければならない、なぜなら、それは、\(m\)次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、\(p_0 = 0\)、なぜなら、\(p'_m \neq 0\)で\(R\)はインテグラルドメイン（整域）である。
したがって、\(p (x)\)の全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)である、したがって、\(p (x) = 0\)。
