684: インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）である

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インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上方の任意のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$R[x]$: $=R\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$R[x]$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のインテグラルドメイン（整域）$R$に対して、$R$上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）$R[x]$はインテグラルドメイン（整域）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $R[x]$は非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）であることを見る; ステップ2: 任意の2要素たちのマルチプリケーション（積）が0であることは当該要素たちの内の1つが0であることを含意する、という資格を証明する。

ステップ1:

$R$は非ゼロであるから、$R[x]$は非ゼロである、なぜなら、$R$の任意の非ゼロ要素は$R[x]$内にコンスタント（定数）として含まれている。

$R[x]$はコミュータティブ（可換）リング（環）である、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義に対する"注"内に示されているとおり。

ステップ 2:

以下を満たす各$p(x),p^{\prime }(x)\in R[x]$、つまり、$p(x)p^{\prime }(x)=0$、に対して、$p(x)=0$ or $p^{\prime }(x)=0$であることを証明しよう。

ステップ2戦略: ステップ2-1: $p(x)$はn次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持ち$0\le n$および$p(x)\ne 0$であり、$p^{\prime }(x)$はm次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持つと仮定し、$p^{\prime }(x)=0$であることを見る; ステップ2-2: $p^{\prime }(x)$はm次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持ち$0\le m$および$p^{\prime }(x)\ne 0$であり、$p(x)$はn次で特定のコエフィシェント（係数）たちを持つと仮定し、$p(x)=0$であることを見る。

実のところ、ステップ2-2は、$R[x]$はコミュータティブ（可換）であるという知られた事実によって不必要である、しかし、それにかかわらず私たちはそれをする、楽しみのために。

ステップ2-1:

$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0$で$p_n\ne 0$および$p^{\prime }(x)=p_m^{\prime }{x}^m+...+p_0^{\prime }$であると仮定しよう。$p_n$は、$n=0$である時$p_0$であるかもしれない。$p^{\prime }(x)$に対する仮定は、$p^{\prime }(x)$は$m$に等しいか小さい次数のものであることを意味し、それは一般性を失わない。

$p_n{p}_m^{\prime }$は$0$でなければならない、なぜなら、それは、$n+m$次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、$p_m^{\prime }=0$、なぜなら、$p_n\ne 0$で$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

すると、$p_n{p}_{m-1}^{\prime }$は$0$でなければならない、なぜなら、それは、$n+m-1$次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、$p_{m-1}^{\prime }=0$、なぜなら、$p_n\ne 0$および$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

等々と続く、結局、$p_n{p}_0^{\prime }$は$0$でなければならない、なぜなら、それは、$n$次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、$p_0^{\prime }=0$、なぜなら、$p_n\ne 0$で$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

したがって、$p^{\prime }(x)$の全てのコエフィシェント（係数）たちは$0$である、したがって、$p^{\prime }(x)=0$。

ステップ2-2:

$p^{\prime }(x)=p_m^{\prime }{x}^m+...+p_0^{\prime }$で$p_m^{\prime }\ne 0$および$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0$であると仮定しよう。$p_m^{\prime }$は、$m=0$である時$p_0^{\prime }$であるかもしれない。$p(x)$に対する仮定は、$p(x)$は$n$に等しいか小さい次数のものであることを意味し、それは一般性を失わない。

$p_n{p}_m^{\prime }$は$0$でなければならない、なぜなら、それは、$n+m$次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、$p_n=0$なぜなら、$p_m^{\prime }\ne 0$で$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

すると、$p_{n-1}{p}_m^{\prime }$は$0$でなければならない、なぜなら、それは、$n-1+m$次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、$p_{n-1}=0$、なぜなら、$p_m^{\prime }\ne 0$および$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

等々と続く、結局、$p_0{p}_m^{\prime }$は$0$でなければならない、なぜなら、それは、$m$次のコエフィシェント（係数）である、それが含意するのは、$p_0=0$、なぜなら、$p_m^{\prime }\ne 0$で$R$はインテグラルドメイン（整域）である。

したがって、$p(x)$の全てのコエフィシェント（係数）たちは$0$である、したがって、$p(x)=0$。

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参考資料

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