コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
\(*R [x]\): \(= \{\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j \vert p_j \in R \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p_j \text{ たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけがゼロでない }\}\)、アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）は下に指定されたものたちで、\(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall \sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j, \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j \in R [x] (\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j + \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j = \sum_{j \in \mathbb{N}} (p_j + p'_j) x^j)\)
\(\land\)
\(\forall \sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j, \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j \in R [x] (\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j = \sum_{j \in \mathbb{N}} \sum_{l \in \{0, ..., j\}} p_l p'_{j - l} x^j)\)
//
当該構成の論理的構造を理解しよう: 第1に、\(R [x]\)の定義内の\(\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j\)、\(p (x) = p_n x^n + ...+ p_0\)とも記される、は、単一の要素である、複数の要素たちの合計ではなく: \(\sum\)または\(+\)は、単一要素の表現内部で使用されている単なるシンボルにすぎず、'アディション（加法）'を意味しない（実際、それは'アディション（加法）'として理解することはできない、なぜなら、'アディション（加法）'はまだ定義されていない）; 第2に、\(R [x]\)の要素たちのアディション（加法）\(+\)が定義される; しかし、結局のところ、当該単一要素は合計に一致する、なぜなら、アディション（加法）は、そうなるように定義されているから。
したがって、\(p (x) = p_n x^n + ...+ p_0\)内の\(+\)と\(p (x) + p' (x)\)内の\(+\)は、本当は別のものである。
同じシンボルをそれら2つの意味に使うのは、混乱の元のように思えるかもしれない（それは実際、混乱の元である）が、勿論、同じシンボルが、混乱を意図的に許すように使われているのである: 2つの意味を混同するのは、無害であり、実のところ、便利である: もしも、第1の意味が\(p (x) = p_n x^n @ ...@ p_0\)のように記されていたら、私たちは、\(p_n x^n @ ...@ p_0 = p_n x^n + ...+ p_0\)のようなコンバージョンたちを書かなければならなくなる、しかし、私たちは、単に\(p_n x^n + ...+ p_0\)と書き、それを便利に解釈する、なぜなら、両方の解釈が妥当だから。
\(\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j \sum_{k \in \mathbb{N}} p'_k x^k = \sum_{j \in \mathbb{N}} \sum_{k \in \mathbb{N}} p_j p'_k x^{j + k}\)は、明らかに真である、ここで、右辺は要素たちの合計である。
明らかに、当該アディション（加法）やマルチプリケーション（乗法）内のファイナイト（有限）数のコエフィシェント（係数）たちのみが非ゼロである、したがって、当該当該アディション（加法）および当該マルチプリケーション（乗法）は閉じている。
2: 自然言語記述
任意のコミュータティブ（可換）リング（環）\(R\)に対して、\(R [x] := \{\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j \vert p_j \in R \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p_j \text{ たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけがゼロでない }\}\)アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）は下に指定されたものたちで、つまり、\(\forall \sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j, \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j \in R [x] (\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j + \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j = \sum_{j \in \mathbb{N}} (p_j + p'_j) x^j)\)および\(\forall \sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j, \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j \in R [x] (\sum_{j \in \mathbb{N}} p_j x^j \sum_{j \in \mathbb{N}} p'_j x^j = \sum_{j \in \mathbb{N}} \sum_{l \in \{0, ..., j\}} p_l p'_{j - l} x^j)\).
3: 注
\(R [x]\)は本当にリング（環）であることを見よう。
1) それは、アディション（加法）の下でアーベリアングループ（群）である: 当該アディション（加法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、それは、\(R\)のアソシアティビティ（結合性）に帰着する、\(0\)はアディティブ（加法）アイデンティティ（単位要素）である、各\(p (x) = p_n x^n + ... + p_0\)はアディティブ（加法）インバース（逆）\((- p_n) x^n + ... + (- p_0)\)を持つ、当該アディション（加法）はコミュータティブ（可換）である、なぜなら、それは、\(R\)のコミュータティビティ（可換性）に帰着する; 2) それは、マルチプリケーション（乗法）の下でモノイドである: 当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、任意の3要素たちのマルチプリケーション（積）に対して、\(x^j\)のコエフィシェント（係数）は当該3要素たちの適切なコエフィシェント（係数）たちのマルチプリケーション（積）たちの合計であるが、そうしたトリオたちの選択たちは、アソシエーション（結合）たちに関わらず同一であり、問題は、各項のアソシアティビティ（結合性）に帰着するが、それは、\(R\)のアソシアティビティ（結合性によって保証されている、\(1\)はマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）である; 3) マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビュータティブ（分配的）である: \(\sum_{j} p_j x^j (\sum_{k} p'_k x^k + \sum_{k} p''_k x^k) = \sum_{j} p_j x^j (\sum_{k} (p'_k + p''_k) x^k) = \sum_{j} \sum_{k} p_j (p'_k + p''_k) x^{j + k} = \sum_{j} \sum_{k} (p_j p'_k + p_j p''_k) x^{j + k} = \sum_{j} \sum_{k} p_j p'_k x^{j + k} + \sum_{j} \sum_{k} p_j p''_k x^{j + k} = \sum_j p_j x^j \sum_k p'_k x^k + \sum_j p_j x^j \sum_k p''_k x^k\)、\((\sum_{k} p'_k x^k + \sum_{k} p''_k x^k) \sum_{j} p_j x^j = \sum_{k} p'_k x^k \sum_{j} p_j x^j + \sum_{k} p''_k x^k p_j x^j\)の同様である。
\(R [x]\)は本当にコミュータティブ（可換）リング（環）である。
\(\sum_j p_j x^j \sum_k p'_k x^k = \sum_j \sum_k p_j p'_k x^{j + k} = \sum_k \sum_j p'_k p_j x^{j + k} = \sum_k p'_k x^k \sum_j p_j x^j\)。
なぜ、\(R\)はコミュータティブ（可換）であるよう要求されているのか？その疑問が浮かぶのは、\(R [x]\)がリング（環）であることを確認する上記議論は、\(R\)のコミュッタティビティ（可換性）を使用しないから。実のところ、非コミュータティブ（可換）\(R\)で\(R [x]\)を定義することは可能なはずである。\(R\)が大抵コミュータティブ（可換）であるように求められている理由は、多分、各エバリュエーション（評価）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）をリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）にするためである。エバリュエーション（評価）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は、各\(p' \in R\)に対して、\(f_{p'}: R [x] \to R, p (x) \mapsto p (p')\)である。\(R\)がコミュータティブ（可換）でない時は、\(f_{p'} ((p_1 x) (p'_1 x)) = f_{p'} (p_1 p'_1 x^2) = p_1 p'_1 {p'}^2 \neq p_1 p' p'_1 p' = f_{p'} (p_1 x) f_{p'} (p'_1 x)\)、したがって、リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像ではない。なぜ、それは、リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）でなければならないのか？えーと、そうでなければならないことはないが、大抵はそうであるように望まれる。その理由は、エバリュエーション（評価）は、\(R [x]\)に対してほとんど予期される付属物であること。
