683: コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）

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コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}$
$\ast R[x]$: $=\{\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j|p_j\in R\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{p}_j\text{ たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけがゼロでない }\}$、アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）は下に指定されたものたちで、$\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j,\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j\in R[x](\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j+\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j=\sum _{j\in \mathbb{N}}(p_j+p_j^{\prime })x^j)$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j,\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j\in R[x](\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j=\sum _{j\in \mathbb{N}}\sum _{l\in \{0,...,j\}}{p}_l{p}_{j-l}^{\prime }{x}^j)$
//

当該構成の論理的構造を理解しよう: 第1に、$R[x]$の定義内の$\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j$、$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0$とも記される、は、単一の要素である、複数の要素たちの合計ではなく: $\sum$または$+$は、単一要素の表現内部で使用されている単なるシンボルにすぎず、'アディション（加法）'を意味しない（実際、それは'アディション（加法）'として理解することはできない、なぜなら、'アディション（加法）'はまだ定義されていない）; 第2に、$R[x]$の要素たちのアディション（加法）$+$が定義される; しかし、結局のところ、当該単一要素は合計に一致する、なぜなら、アディション（加法）は、そうなるように定義されているから。

したがって、$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0$内の$+$と$p(x)+p^{\prime }(x)$内の$+$は、本当は別のものである。

同じシンボルをそれら2つの意味に使うのは、混乱の元のように思えるかもしれない（それは実際、混乱の元である）が、勿論、同じシンボルが、混乱を意図的に許すように使われているのである: 2つの意味を混同するのは、無害であり、実のところ、便利である: もしも、第1の意味が$p(x)=p_n{x}^n@...@p_0$のように記されていたら、私たちは、$p_n{x}^n@...@p_0=p_n{x}^n+...+p_0$のようなコンバージョンたちを書かなければならなくなる、しかし、私たちは、単に$p_n{x}^n+...+p_0$と書き、それを便利に解釈する、なぜなら、両方の解釈が妥当だから。

$\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j\sum _{k\in \mathbb{N}}{p}_k^{\prime }{x}^k=\sum _{j\in \mathbb{N}}\sum _{k\in \mathbb{N}}{p}_j{p}_k^{\prime }{x}^{j+k}$は、明らかに真である、ここで、右辺は要素たちの合計である。

明らかに、当該アディション（加法）やマルチプリケーション（乗法）内のファイナイト（有限）数のコエフィシェント（係数）たちのみが非ゼロである、したがって、当該当該アディション（加法）および当該マルチプリケーション（乗法）は閉じている。

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2: 自然言語記述

任意のコミュータティブ（可換）リング（環）$R$に対して、$R[x]:=\{\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j|p_j\in R\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{p}_j\text{ たちの内のファイナイト（有限）数のものたちだけがゼロでない }\}$アディション（加法）およびマルチプリケーション（乗法）は下に指定されたものたちで、つまり、$\mathrm{\forall }\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j,\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j\in R[x](\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j+\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j=\sum _{j\in \mathbb{N}}(p_j+p_j^{\prime })x^j)$および$\mathrm{\forall }\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j,\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j\in R[x](\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j{x}^j\sum _{j\in \mathbb{N}}{p}_j^{\prime }{x}^j=\sum _{j\in \mathbb{N}}\sum _{l\in \{0,...,j\}}{p}_l{p}_{j-l}^{\prime }{x}^j)$.

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3: 注

$R[x]$は本当にリング（環）であることを見よう。

1) それは、アディション（加法）の下でアーベリアングループ（群）である: 当該アディション（加法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、それは、$R$のアソシアティビティ（結合性）に帰着する、$0$はアディティブ（加法）アイデンティティ（単位要素）である、各$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0$はアディティブ（加法）インバース（逆）$(-p_n)x^n+...+(-p_0)$を持つ、当該アディション（加法）はコミュータティブ（可換）である、なぜなら、それは、$R$のコミュータティビティ（可換性）に帰着する; 2) それは、マルチプリケーション（乗法）の下でモノイドである: 当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、任意の3要素たちのマルチプリケーション（積）に対して、$x^j$のコエフィシェント（係数）は当該3要素たちの適切なコエフィシェント（係数）たちのマルチプリケーション（積）たちの合計であるが、そうしたトリオたちの選択たちは、アソシエーション（結合）たちに関わらず同一であり、問題は、各項のアソシアティビティ（結合性）に帰着するが、それは、$R$のアソシアティビティ（結合性によって保証されている、$1$はマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）である; 3) マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビュータティブ（分配的）である: $\sum _j{p}_j{x}^j(\sum _k{p}_k^{\prime }{x}^k+\sum _k{p}_k^{″}{x}^k)=\sum _j{p}_j{x}^j(\sum _k(p_k^{\prime }+p_k^{″})x^k)=\sum _j\sum _k{p}_j(p_k^{\prime }+p_k^{″})x^{j+k}=\sum _j\sum _k(p_j{p}_k^{\prime }+p_j{p}_k^{″})x^{j+k}=\sum _j\sum _k{p}_j{p}_k^{\prime }{x}^{j+k}+\sum _j\sum _k{p}_j{p}_k^{″}{x}^{j+k}=\sum _j{p}_j{x}^j\sum _k{p}_k^{\prime }{x}^k+\sum _j{p}_j{x}^j\sum _k{p}_k^{″}{x}^k$、$(\sum _k{p}_k^{\prime }{x}^k+\sum _k{p}_k^{″}{x}^k)\sum _j{p}_j{x}^j=\sum _k{p}_k^{\prime }{x}^k\sum _j{p}_j{x}^j+\sum _k{p}_k^{″}{x}^k{p}_j{x}^j$の同様である。

$R[x]$は本当にコミュータティブ（可換）リング（環）である。

$\sum _j{p}_j{x}^j\sum _k{p}_k^{\prime }{x}^k=\sum _j\sum _k{p}_j{p}_k^{\prime }{x}^{j+k}=\sum _k\sum _j{p}_k^{\prime }{p}_j{x}^{j+k}=\sum _k{p}_k^{\prime }{x}^k\sum _j{p}_j{x}^j$。

なぜ、$R$はコミュータティブ（可換）であるよう要求されているのか？その疑問が浮かぶのは、$R[x]$がリング（環）であることを確認する上記議論は、$R$のコミュッタティビティ（可換性）を使用しないから。実のところ、非コミュータティブ（可換）$R$で$R[x]$を定義することは可能なはずである。$R$が大抵コミュータティブ（可換）であるように求められている理由は、多分、各エバリュエーション（評価）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）をリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）にするためである。エバリュエーション（評価）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は、各$p^{\prime }\in R$に対して、$f_{p^{\prime }}:R[x]\to R,p(x)\mapsto p(p^{\prime })$である。$R$がコミュータティブ（可換）でない時は、$f_{p^{\prime }}((p_{1}x)(p_1^{\prime }x))=f_{p^{\prime }}(p_1{p}_1^{\prime }{x}^2)=p_1{p}_1^{\prime }{p^{\prime }}^2\ne p_1{p}^{\prime }{p}_1^{\prime }{p}^{\prime }=f_{p^{\prime }}(p_{1}x)f_{p^{\prime }}(p_1^{\prime }x)$、したがって、リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像ではない。なぜ、それは、リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）でなければならないのか？えーと、そうでなければならないことはないが、大抵はそうであるように望まれる。その理由は、エバリュエーション（評価）は、$R[x]$に対してほとんど予期される付属物であること。

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参考資料

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