682: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）はベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してベーシス（基底）にできる

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）はベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してベーシス（基底）にできることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびその任意のベーシス（基底）に対して、要素たちの任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）は当該ベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$B$: $=\{b_1,...,b_d\}$, $\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
$S$: $=\{v_1,...,v_k\}$, $\in \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}$、ここで、$0\le k\le d$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }\{b_{j_1},...,b_{j_{d-k}}\}(\{v_1,...,v_k,b_{j_1},...,b_{j_{d-k}}\}\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意のファイナイト（有限）$d$ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$の任意のベーシス（基底）$B:=\{b_1,...,b_d\}$、$k$要素たちの任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$S:=\{v_1,...,v_k\}\subseteq V$、ここで、$0\le k\le d$、に対して、当該ベーシス（基底）の以下を満たすいくつかの要素たち$b_{j_1},...,b_{j_{d-k}}$、つまり、$\{v_1,...,v_k,b_{j_1},...,b_{j_{d-k}}\}$は$V$のあるベーシス（基底）である、がある。

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3: 注

本命題は、$k$要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）を拡張してあるベーシス（基底）にしさえすればよいという問題ではなく、$k$要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）を、任意の固定したベーシス（基底）のいくつかの要素たちでもって拡張してあるベーシス（基底）にするという問題である。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: もしも、$k<d$であれば、$S$の中へ$B$のある要素を追加してあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）を形成し、$S^{\prime }$と呼ぶ; ステップ2: もしも、$k+1<d$であれば、$S^{\prime }$の中へ$B$のある要素を追加してあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）を形成し、再び$S^{\prime }$と呼ぶ; ステップ3: 等々と$k+l=d$まで続く; ステップ4: $S^{\prime }$はあるベーシス（基底）であると結論する。

$I:=\{1,...,d\}$および$I^{\prime }:=\{1,...,k\}$であるとしよう。

ステップ1:

もしも、$k=d$であれば、最終ステップへ行こう。

もしも、$k<d$であれば、当該ベーシス（基底）の以下を満たすある要素$b_{j_1}$、つまり、$S\cup \{b_{j_1}\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、があることを証明しよう。そうでないと仮定しよう。全てが$0$ではない以下を満たすコエフィシェント（係数）たちのあるセット（集合）$c_j^1,...,c_j^{k+1}$、つまり、各$j\in I$に対して$\sum _{l\in I^{\prime }}{c}_j^l{v}_l+c_j^{k+1}{b}_j=0$、があることになる。$c_j^{k+1}\ne 0$、なぜなら、そうでなければ、$\sum _{l\in I^{\prime }}{c}_j^l{v}_l=0$、それが含意するのは、全てのコエフィシェント（係数）たちが$0$であったということ、なぜなら、$S$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）だった、矛盾。したがって、各$b_j$は$S$のリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、それは、$S$がベーシス（基底）であったことを含意することになる、$V$が$d$ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。したがって、そうしたある$b_{j_1}$を選び、$S\cup \{b_{j_1}\}$を"$S^{\prime }$"と呼ぼう。

ステップ2:

もしも、$k+1=d$であれば、最終ステップへ行こう。

もしも、$k+1<d$であれば、当該ベーシス（基底）の以下を満たすある要素$b_{j_2}$、つまり、$S^{\prime }\cup \{b_{j_2}\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、があることを証明しよう。そうでないと仮定しよう。全てが$0$ではない以下を満たすコエフィシェント（係数）たちのあるセット（集合）$c_j^1,...,c_j^{k+2}$、つまり、各$j\in I$に対して$\sum _{l\in I^{\prime }}{c}_j^l{v}_l+c_j^{k+1}{b}_{j_1}+c_j^{k+2}{b}_j=0$、があることになる。$c_j^{k+2}\ne 0$、なぜなら、そうでなければ、$\sum _{l\in I^{\prime }}{c}_j^l{v}_l+c_j^{k+1}{b}_{j_1}=0$、それが含意するのは、全てのコエフィシェント（係数）たちが$0$であったということ、なぜなら、$S^{\prime }$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）だった、矛盾。したがって、各$b_j$は$S^{\prime }$のリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、それは、$(v_1,...,v_k,b_{j_1})$がベーシス（基底）であったことを含意することになる、$V$が$d$ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。明らかに、$b_{j_1}\ne b_{j_2}$、なぜなら、もしも、$b_{j_1}=b_{j_2}$であったら、$S^{\prime }\cup b_{j_2}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではないだろう。したがって、そうしたある$b_{j_2}$を選び、$S^{\prime }\cup \{b_{j_1}\}$を再び"$S^{\prime }$"と呼ぼう。

ステップ3:

等々と続く、それが意味するのは、$k+l<d$である限りは、あるリニア（線形）にインディペンデント（独立）な$S^{\prime }\cup \{b_{j_{l+1}}\}$があり、再び$S^{\prime }$と呼ばれ、結局、$k+l=d$となる。

ステップ4:

すると、$S^{\prime }$は$V$のあるベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。

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参考資料

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