ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）はベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してベーシス（基底）にできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびその任意のベーシス（基底）に対して、要素たちの任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）は当該ベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_1, ..., b_d\}\), \(\in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(S\): \(= \{v_1, ..., v_k\}\), \(\in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)、ここで、\(0 \le k \le d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{b_{j_1}, ..., b_{j_{d - k}}\} (\{v_1, ..., v_k, b_{j_1}, ..., b_{j_{d - k}}\} \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のファイナイト（有限）\(d\)ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)の任意のベーシス（基底）\(B := \{b_1, ..., b_d\}\)、\(k\)要素たちの任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(S := \{v_1, ..., v_k\} \subseteq V\)、ここで、\(0 \le k \le d\)、に対して、当該ベーシス（基底）の以下を満たすいくつかの要素たち\(b_{j_1}, ..., b_{j_{d - k}}\)、つまり、\(\{v_1, ..., v_k, b_{j_1}, ..., b_{j_{d - k}}\}\)は\(V\)のあるベーシス（基底）である、がある。
3: 注
本命題は、\(k\)要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）を拡張してあるベーシス（基底）にしさえすればよいという問題ではなく、\(k\)要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）を、任意の固定したベーシス（基底）のいくつかの要素たちでもって拡張してあるベーシス（基底）にするという問題である。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: もしも、\(k \lt d\)であれば、\(S\)の中へ\(B\)のある要素を追加してあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）を形成し、\(S'\)と呼ぶ; ステップ2: もしも、\(k + 1 \lt d\)であれば、\(S'\)の中へ\(B\)のある要素を追加してあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）を形成し、再び\(S'\)と呼ぶ; ステップ3: 等々と\(k + l = d\)まで続く; ステップ4: \(S'\)はあるベーシス（基底）であると結論する。
\(I := \{1, ..., d\}\)および\(I' := \{1, ..., k\}\)であるとしよう。
ステップ1:
もしも、\(k = d\)であれば、最終ステップへ行こう。
もしも、\(k \lt d\)であれば、当該ベーシス（基底）の以下を満たすある要素\(b_{j_1}\)、つまり、\(S \cup \{b_{j_1}\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、があることを証明しよう。そうでないと仮定しよう。全てが\(0\)ではない以下を満たすコエフィシェント（係数）たちのあるセット（集合）\(c_j^1, ..., c_j^{k + 1}\)、つまり、各\(j \in I\)に対して\(\sum_{l \in I'} c_j^l v_l + c_j^{k + 1} b_j = 0\)、があることになる。\(c_j^{k + 1} \neq 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(\sum_{l \in I'} c_j^l v_l = 0\)、それが含意するのは、全てのコエフィシェント（係数）たちが\(0\)であったということ、なぜなら、\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）だった、矛盾。したがって、各\(b_j\)は\(S\)のリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、それは、\(S\)がベーシス（基底）であったことを含意することになる、\(V\)が\(d\)ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。したがって、そうしたある\(b_{j_1}\)を選び、\(S \cup \{b_{j_1}\}\)を"\(S'\)"と呼ぼう。
ステップ2:
もしも、\(k + 1 = d\)であれば、最終ステップへ行こう。
もしも、\(k + 1 \lt d\)であれば、当該ベーシス（基底）の以下を満たすある要素\(b_{j_2}\)、つまり、\(S' \cup \{b_{j_2}\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、があることを証明しよう。そうでないと仮定しよう。全てが\(0\)ではない以下を満たすコエフィシェント（係数）たちのあるセット（集合）\(c_j^1, ..., c_j^{k + 2}\)、つまり、各\(j \in I\)に対して\(\sum_{l \in I'} c_j^l v_l + c_j^{k + 1} b_{j_1} + c_j^{k + 2} b_j = 0\)、があることになる。\(c_j^{k + 2} \neq 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(\sum_{l \in I'} c_j^l v_l + c_j^{k + 1} b_{j_1} = 0\)、それが含意するのは、全てのコエフィシェント（係数）たちが\(0\)であったということ、なぜなら、\(S'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）だった、矛盾。したがって、各\(b_j\)は\(S'\)のリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、それは、\((v_1, ..., v_k, b_{j_1})\)がベーシス（基底）であったことを含意することになる、\(V\)が\(d\)ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。明らかに、\(b_{j_1} \neq b_{j_2}\)、なぜなら、もしも、\(b_{j_1} = b_{j_2}\)であったら、\(S' \cup b_{j_2}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではないだろう。したがって、そうしたある\(b_{j_2}\)を選び、\(S' \cup \{b_{j_1}\}\)を再び"\(S'\)"と呼ぼう。
ステップ3:
等々と続く、それが意味するのは、\(k + l \lt d\)である限りは、あるリニア（線形）にインディペンデント（独立）な\(S' \cup \{b_{j_{l + 1}}\}\)があり、再び\(S'\)と呼ばれ、結局、\(k + l = d\)となる。
ステップ4:
すると、\(S'\)は\(V\)のあるベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。
