713: グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群）

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グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$p$: $\in G$
$\ast C_G(p)$: $=\{p^{\prime }\in G|p^{\prime }p{p}^{\prime -1}=p\}$, $\in \{G\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
//

コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$および任意の要素$p\in G$に対して、$G$のサブグループ（部分群）$C_G(p):=\{p^{\prime }\in G|p^{\prime }p{p}^{\prime -1}=p\}$

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3: 注

$C_G(p)$は本当にサブグループ（部分群）である: 0) 各$p^{\prime },p^{″}\in C_G(p)$に対して、$p^{\prime }{p}^{″}p(p^{\prime }{p}^{″}{)}^{-1}=p^{\prime }{p}^{″}p{p^{″}}^{-1}{p}^{\prime -1}=p^{\prime }p{p}^{\prime -1}=p$; 1) 任意の要素たち$p_1,p_2,p_3\in C_G(p)$に対して、$(p_1{p}_2)p_3=p_1(p_2{p}_3)$、なぜなら、それは、周囲$G$内で成立する; 2) アイデンティティ（単位）要素は$C_G(p)$内にある、なぜなら、$1p{1}^{-1}=p$; 3) 各要素に対して、インバース（逆）は$C_G(p)$内にある、なぜなら、$p^{\prime -1}p(p^{\prime -1}{)}^{-1}=p^{\prime -1}p{p}^{\prime }=p^{\prime -1}{p}^{\prime }p{p}^{\prime -1}{p}^{\prime }=p$。

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参考資料

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