712: 要素によるシクリックグループ（循環群）

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要素によるシクリックグループ（循環群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$p$: $\in \{\text{ 全てのオブジェクトたち }\}$
$\ast ⟨p⟩$: $=\{p^j|j\in \mathbb{Z}\}$またはある$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して$=\{p^j|j\in \mathbb{N},0\le j\le (n-1)\}$で、$p^j{p}^k=p^{j+k}$または$p^j{p}^k=p^{[j+k]}$をグループ（群）オペレーションとして持つもの、ここで、$[j+k]$は、$j+k$の$n$で割った余りを表わす
//

コンディションたち:
//

"オブジェクト"は何を意味するのか？えーと、'オブジェクト'はこの宇宙内の任意のオブジェクトである。数学全体をZFCセット（集合）の上に構築する者は、それはあるセット（集合）であると言うであろうが、私たちはそういう者ではない。

$p$が単なるオブジェクトであるところ$p^j$は何を意味するのかと訝る人がいるかもしれない。えーと、それは、私たちが今発明したあるシンボルである: 勿論、$p^j$は$p...p$のようには定義できない、なぜなら、グループ（群）オペレーションはまだ定義されていない: グループ（群）オペレーションは、当該グループ（群）のセット（集合）が定義され終わった後で定義されるのである。

その後、グループ（群）オペレーションが定義された後、$p^j=p...p$となる、結果として。

$C_n:=\mathbb{Z}/n$、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）、は、明らかに$[1]$による$n$-オーダーシクリックグループ（循環群）であり、単に"シクリックグループ（循環群）"と呼ばれる。

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2: 自然言語記述

任意のオブジェクト$p$に対して、$⟨p⟩$: $=\{p^j|j\in \mathbb{Z}\}$またはある$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して$=\{p^j|j\in \mathbb{N},0\le j\le (n-1)\}$、$p^j{p}^k=p^{j+k}$または$p^j{p}^k=p^{[j+k]}$をグループ（群）オペレーションとして、ここで、$[j+k]$は、$j+k$の$n$で割った余りを表わす

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3: 注

インフィニット（無限）ケースに対して、$⟨p⟩$は本当にグループ（群）である: 0) $p^j{p}^k=p^{j+k}\in ⟨p⟩$; 1) $(p^j{p}^k)p^l=p^{j+k}{p}^l=p^{j+k+l}=p^j{p}^{k+l}=p^j(p^k{p}^l)$; 2) $p^0$はアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、$p^0{p}^j=p^{0+j}=p^j=p^{j+0}=p^j{p}^0$、したがって、$1$と呼ばれる; 3) 各$p^j$に対して、$p^{-j}$がインバース（逆）である、なぜなら、$p^j{p}^{-j}=p^{j+-j}=p^0=1=p^0=p^{-j+j}=p^{-j}{p}^j$。

ファイナイト（有限）ケースに対して、$⟨p⟩$は本当にグループ（群）である: 0) $p^j{p}^k=p^{[j+k]}\in ⟨p⟩$; 1) $(p^j{p}^k)p^l=p^{[j+k]}{p}^l=p^{[j+k+l]}=p^j{p}^{[k+l]}=p^j(p^k{p}^l)$; 2) $p^0$はアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、$p^0{p}^j=p^{[0+j]}=p^j=p^{[j+0]}=p^j{p}^0$、したがって、$1$と呼ばれる; 3) 各$p^j$に対して、$p^{n-j}$がインバース（逆）である、なぜなら、$p^j{p}^{n-j}=p^{[j+n-j]}=p^0=1=p^0=p^{[n-j+j]}=p^{n-j}{p}^j$。

インフィニット（無限）ケースに対して、$p,p^2,...$たちだけで当該グループ（群）を構成するというような混乱を起こさないように: そのシーケンス（列）は決して$1$へ戻らないし、$p$のインバース（逆）も生成しない。

多くのケースたちにおいて、あるグループ（群）$G$に対して、$G$の、ある要素$p\in G$によるシクリックサブグループ（循環部分群）が取られる。それは、実際に、本定義による、$p$によるシクリックグループ（循環群）である、シンボル$p^j$を$G$上におけるマルチプリケーション（積）$p...p$と同定することによって。それがインフィニット（無限）グループ（群）であるか$n$オーダーグループ（群）であるかは、$p$に依存する。$G$がファイナイト（有限）である時は、それは不可避にファイナイト（有限）になるが、$G$がインフィニット（無限）である時は、それはインフィニット（無限）であるかもしれないし、ないかもしれない。

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参考資料

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