要素によるシクリックグループ（循環群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( p\): \(\in \{\text{ 全てのオブジェクトたち }\}\)
\(*\langle p \rangle\): \(= \{p^j \vert j \in \mathbb{Z}\}\)または\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して\(= \{p^j \vert j \in \mathbb{N}, 0 \le j \le (n - 1)\}\)で、\(p^j p^k = p^{j + k}\)または\(p^j p^k = p^{[j + k]}\)をグループ（群）オペレーションとして持つもの、ここで、\([j + k]\)は、\(j + k\)の\(n\)で割った余りを表わす
//
コンディションたち:
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"オブジェクト"は何を意味するのか？えーと、'オブジェクト'はこの宇宙内の任意のオブジェクトである。数学全体をZFCセット（集合）の上に構築する者は、それはあるセット（集合）であると言うであろうが、私たちはそういう者ではない。
\(p\)が単なるオブジェクトであるところ\(p^j\)は何を意味するのかと訝る人がいるかもしれない。えーと、それは、私たちが今発明したあるシンボルである: 勿論、\(p^j\)は\(p ... p\)のようには定義できない、なぜなら、グループ（群）オペレーションはまだ定義されていない: グループ（群）オペレーションは、当該グループ（群）のセット（集合）が定義され終わった後で定義されるのである。
その後、グループ（群）オペレーションが定義された後、\(p^j = p ... p\)となる、結果として。
2: 自然言語記述
任意のオブジェクト\(p\)に対して、\(\langle p \rangle\): \(= \{p^j \vert j \in \mathbb{Z}\}\)またはある\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して\(= \{p^j \vert j \in \mathbb{N}, 0 \le j \le (n - 1)\}\)、\(p^j p^k = p^{j + k}\)または\(p^j p^k = p^{[j + k]}\)をグループ（群）オペレーションとして、ここで、\([j + k]\)は、\(j + k\)の\(n\)で割った余りを表わす
3: 注
インフィニット（無限）ケースに対して、\(\langle p \rangle\)は本当にグループ（群）である: 0) \(p^j p^k = p^{j + k} \in \langle p \rangle\); 1) \((p^j p^k) p^l = p^{j + k} p^l = p^{j + k + l} = p^j p^{k + l} = p^j (p^k p^l)\); 2) \(p^0\)はアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、\(p^0 p^j = p^{0 + j} = p^j = p^{j + 0} = p^j p^0\)、したがって、\(1\)と呼ばれる; 3) 各\(p^j\)に対して、\(p^{-j}\)がインバース（逆）である、なぜなら、\(p^j p^{-j} = p^{j + - j} = p^0 = 1 = p^0 = p^{-j + j} = p^{-j} p^j\)。
ファイナイト（有限）ケースに対して、\(\langle p \rangle\)は本当にグループ（群）である: 0) \(p^j p^k = p^{[j + k]} \in \langle p \rangle\); 1) \((p^j p^k) p^l = p^{[j + k]} p^l = p^{[j + k + l]} = p^j p^{[k + l]} = p^j (p^k p^l)\); 2) \(p^0\)はアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、\(p^0 p^j = p^{[0 + j]} = p^j = p^{[j + 0]} = p^j p^0\)、したがって、\(1\)と呼ばれる; 3) 各\(p^j\)に対して、\(p^{n - j}\)がインバース（逆）である、なぜなら、\(p^j p^{n - j} = p^{[j + n - j]} = p^0 = 1 = p^0 = p^{[n - j + j]} = p^{n - j} p^j\)。
インフィニット（無限）ケースに対して、\(p, p^2, ...\)たちだけで当該グループ（群）を構成するというような混乱を起こさないように: そのシーケンス（列）は決して\(1\)へ戻らないし、\(p\)のインバース（逆）も生成しない。
多くのケースたちにおいて、あるグループ（群）\(G\)に対して、\(G\)の、ある要素\(p \in G\)によるシクリックサブグループ（循環部分群）が取られる。それは、実際に、本定義による、\(p\)によるシクリックグループ（循環群）である、シンボル\(p^j\)を\(G\)上におけるマルチプリケーション（積）\(p ... p\)と同定することによって。それがインフィニット（無限）グループ（群）であるか\(n\)オーダーグループ（群）であるかは、\(p\)に依存する。\(G\)がファイナイト（有限）である時は、それは不可避にファイナイト（有限）になるが、\(G\)がインフィニット（無限）である時は、それはインフィニット（無限）であるかもしれないし、ないかもしれない。
