バイジェクション（全単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バイジェクション（全単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{S_1, ..., S_n\}\): \(S_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{S'_1, ..., S'_n\}\): \(S'_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: S_j \to S'_j\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall j \in \{1, ..., n - 1\} (S'_j = S_{j + 1})\)
\(\implies\)
\(f_n \circ ... \circ f_1: S_1 \to S'_n \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(\{S_1, ..., S_n\}\)、任意のセット（集合）たち\(\{S'_1, ..., S'_n\}\)、以下を満たす任意のバイジェクション（全単射）たち\(\{f_1, ..., f_n\}\)、つまり、\(f_j: S_j \to S'_j\)、に対して、もしも、各\(j \in \{1, ..., n - 1\}\)に対して、\(S'_j = S_{j + 1}\)である場合、\(f_n \circ ... \circ f_1: S_1 \to S'_n\)はバイジェクション（全単射）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: それはインジェクション（単射）であることを見る; ステップ2: それはサージェクション（全射）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f_n \circ ... \circ f_1\)はインジェクション（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f_n \circ ... \circ f_1\)はサージェクション（全射）である、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題によって。
ステップ3:
したがって、\(f_n \circ ... \circ f_1\)はバイジェクション（全単射）である。
4: 注
ある\(j\)に対して\(S'_j \subset S_{j + 1}\)である時、\(f_n \circ ... \circ f_1\)はまだ妥当である、しかし、バイジェクション（全単射）ではない。例えば、\(n = 2\)、\(S_1 = \{1\}\)、\(S'_1 = \{2\}\)、\(S_2 = \{2, 3\}\)、\(S'_2 = \{4, 5\}\)、\(f_1: 1 \mapsto 2\)、\(f_2: 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 5\)としよう。\(f_2 \circ f_1\)は妥当であるが、サージェクティブ（全射）ではない、なぜなら、\(5\)は\(S_1\)のどの要素からもマップされない。
