749: バイジェクション（全単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合

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バイジェクション（全単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題を認めている。
• 読者は、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、バイジェクション（全単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{S_1,...,S_n\}$: $S_j\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{S_1^{\prime },...,S_n^{\prime }\}$: $S_j^{\prime }\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{f_1,...,f_n\}$: $f_j:S_j\to S_j^{\prime }$, $\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,n-1\}(S_j^{\prime }=S_{j+1})$
$⟹$
$f_n\circ ...\circ f_1:S_1\to S_n^{\prime }\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$\{S_1,...,S_n\}$、任意のセット（集合）たち$\{S_1^{\prime },...,S_n^{\prime }\}$、以下を満たす任意のバイジェクション（全単射）たち$\{f_1,...,f_n\}$、つまり、$f_j:S_j\to S_j^{\prime }$、に対して、もしも、各$j\in \{1,...,n-1\}$に対して、$S_j^{\prime }=S_{j+1}$である場合、$f_n\circ ...\circ f_1:S_1\to S_n^{\prime }$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: それはインジェクション（単射）であることを見る; ステップ2: それはサージェクション（全射）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$f_n\circ ...\circ f_1$はインジェクション（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって。

ステップ2:

$f_n\circ ...\circ f_1$はサージェクション（全射）である、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題によって。

ステップ3:

したがって、$f_n\circ ...\circ f_1$はバイジェクション（全単射）である。

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4: 注

ある$j$に対して$S_j^{\prime }\subset S_{j+1}$である時、$f_n\circ ...\circ f_1$はまだ妥当である、しかし、バイジェクション（全単射）ではない。例えば、$n=2$、$S_1=\{1\}$、$S_1^{\prime }=\{2\}$、$S_2=\{2,3\}$、$S_2^{\prime }=\{4,5\}$、$f_1:1\mapsto 2$、$f_2:2\mapsto 4,3\mapsto 5$としよう。$f_2\circ f_1$は妥当であるが、サージェクティブ（全射）ではない、なぜなら、$5$は$S_1$のどの要素からもマップされない。

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参考資料

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