750: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションに対して、モーションはバイジェクティブ（全単射）である

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同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションに対して、モーションはバイジェクティブ（全単射）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モーションの定義を知っている。
• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、モーションたちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであるという命題を認めている。
• 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションに対して、当該モーションはバイジェクティブ（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_1$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_1$を持つもの
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_2$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_2$を持つもの
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_1$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_1$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_1$を持つもの、任意の$d$ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_2$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_2$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_2$を持つもの、任意のモーション$f:V_1\to V_2$に対して、$f$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $v_0=f(0)$に対して、マップ（写像）$f^{\prime }:V_2\to V_2,v\mapsto v-v_0$を取り、$f^{\prime }$は倍ジェクティブ（全単射）モーションであることを見る; ステップ2: $f^{\prime }\circ f:V_1\to V_2$は モーションで$f^{\prime }\circ f(0)=0$を満たすことを見る、そして、$f^{\prime }\circ f$はバイジェクション（全単射）であることを見る; ステップ3: $f=f^{\prime -1}\circ f^{\prime }\circ f$はバイジェクション（全単射）であることを見る。

ステップ1:

$v_0=f(0)$であるとしよう。

マップ（写像）$f^{\prime }:V_2\to V_2,v\mapsto v-v_0$を取ろう。

$f^{\prime }$はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。

各$v,v^{\prime }\in V_2$で$v\ne v^{\prime }$であるものに対して、$f^{\prime }(v)=v-v_0\ne v^{\prime }-v_0=f^{\prime }(v^{\prime })$。各$v\in V_2$に対して、$f^{\prime }(v+v_0)=v+v_0-v_0=v$。

$f^{\prime }$はモーションであることを見よう。

各$v,v^{\prime }\in V_2$に対して、$\Vert v-v^{\prime }{\Vert }_2=\Vert v-v_0-(v^{\prime }-v_0){\Vert }_2=\Vert f^{\prime }(v)-f^{\prime }(v^{\prime }){\Vert }_2$。

ステップ2:

$f^{\prime }\circ f:V_1\to V_2$はモーションである、モーションたちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであるという命題によって。

$f^{\prime }\circ f$はインジェクティブ（単射）である、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題によって。

$f^{\prime }\circ f(0)=f^{\prime }(v_0)=v_0-v_0=0$。

$f^{\prime }\circ f$はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題によって。

$f^{\prime }\circ f$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、特に、バイジェクション（全単射）である。

ステップ3:

$f=f^{\prime -1}\circ f^{\prime }\circ f$はバイジェクション（全単射）である、バイジェクション（全単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題によって。

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参考資料

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