同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションに対して、モーションはバイジェクティブ（全単射）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モーションの定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、モーションたちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションに対して、当該モーションはバイジェクティブ（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_1\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_2\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_1\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_2\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの、任意のモーション\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)はバイジェクション（全単射）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(v_0 = f (0)\)に対して、マップ（写像）\(f': V_2 \to V_2, v \mapsto v - v_0\)を取り、\(f'\)は倍ジェクティブ（全単射）モーションであることを見る; ステップ2: \(f' \circ f: V_1 \to V_2\)は モーションで\(f' \circ f (0) = 0\)を満たすことを見る、そして、\(f' \circ f\)はバイジェクション（全単射）であることを見る; ステップ3: \(f = f'^{-1} \circ f' \circ f\)はバイジェクション（全単射）であることを見る。
ステップ1:
\(v_0 = f (0)\)であるとしよう。
マップ（写像）\(f': V_2 \to V_2, v \mapsto v - v_0\)を取ろう。
\(f'\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。
各\(v, v' \in V_2\)で\(v \neq v'\)であるものに対して、\(f' (v) = v - v_0 \neq v' - v_0 = f' (v')\)。各\(v \in V_2\)に対して、\(f' (v + v_0) = v + v_0 - v_0 = v\)。
\(f'\)はモーションであることを見よう。
各\(v, v' \in V_2\)に対して、\(\Vert v - v' \Vert_2 = \Vert v - v_0 - (v' - v_0) \Vert_2 = \Vert f' (v) - f' (v') \Vert_2\)。
ステップ2:
\(f' \circ f: V_1 \to V_2\)はモーションである、モーションたちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであるという命題によって。
\(f' \circ f\)はインジェクティブ（単射）である、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題によって。
\(f' \circ f (0) = f' (v_0) = v_0 - v_0 = 0\)。
\(f' \circ f\)はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題によって。
\(f' \circ f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、特に、バイジェクション（全単射）である。
ステップ3:
\(f = f'^{-1} \circ f' \circ f\)はバイジェクション（全単射）である、バイジェクション（全単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題によって。
