モーションたちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モーションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モーションたちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{F_1, ..., F_n\}\): \(F_j \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(\{F'_1, ..., F'_n\}\): \(F'_j \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもので、\(\forall j \in \{1, ..., n - 1\} (F'_j = F_{j + 1})\)を満たすもの
\(\{V_1, ..., V_n\}\): \(V_j \in \{\text{ 全てのノルム付き } F_j \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、ノルム\(\Vert \bullet \Vert_j\)を持つもの
\(\{V'_1, ..., V'_n\}\): \(V'_j \in \{\text{ 全てのノルム付き } F'_j \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、\(\forall j \in \{1, ..., n - 1\} (V'_j \subseteq V_{j + 1})\)を満たし、ノルム\(\Vert \bullet \Vert_{j + 1}\)を持つもの
\(\{f_1, ..., f_n\}\): \(f_j: V_j \to V'_j\), \(\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_n \circ ... \circ f_1: V_1 \to V'_n \in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(\{F_1, ..., F_n\}\)、ここで、\(F_j \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意の\(\{F'_1, ..., F'_n\}\)、ここで、\(F'_j \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持ち、各\(j \in \{1, ..., n - 1\}\)に対して、\(F'_j = F_{j + 1}\)を満たすもの、任意の\(\{V_1, ..., V_n\}\)、ここで、\(V_j \in \{\text{ 全てのノルム付き } F_j \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、ノルム\(\Vert \bullet \Vert_j\)を持つもの、任意の\(\{V'_1, ..., V'_n\}\)、ここで、\(V'_j \in \{\text{ 全てのノルム付き } F'_j \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、各\(j \in \{1, ..., n - 1\}\)に対して、\(V'_j \subseteq V_{j + 1}\)を満たし、ノルム\(\Vert \bullet \Vert_{j + 1}\)を持つもの、任意の\(\{f_1, ..., f_n\}\)、ここで、\(f_j: V_j \to V'_j\)は任意のモーション、に対して、\(f_n \circ ... \circ f_1: V_1 \to V'_n\)はモーションである。
3: 証明
全体戦略: \(n\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: \(n = 1\)ケースに対して証明する; ステップ2: \(n = 2\)ケースに対して証明する; ステップ3: \(n = 1, ..., n' - 1\)ケースたちに対してそれを仮定し、\(n = n'\)ケースに対してそれを証明する。
ステップ1:
\(n = 1\)であると仮定しよう。
\(f_1\)はモーションである。
ステップ2:
\(n = 2\)であると仮定しよう。
各\(v, v' \in V_1\)に対して、\(\Vert v - v' \Vert_1 = \Vert f_1 (v) - f_1 (v') \Vert_2 = \Vert f_2 \circ f_1 (v) - f_2 \circ f_1 (v') \Vert_3\)。したがって、\(f_2 \circ f_1\)はモーションである。
ステップ3:
\(n = 1, ..., n' - 1\)ケースたちに対して本命題は成立すると仮定しよう。
\(n = n'\)であると仮定しよう。
\(f_{n'} \circ ... \circ f_1 = f_{n'} \circ (f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1)\)。\(f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1\)はモーションである、\(n = n' - 1\)ケースに対するインダクション（帰納）仮定によって。\(f_{n'} \circ (f_{n' - 1} \circ ... \circ f_1)\)はモーションである、\(n = 2\)ケースに対するインダクション（帰納）仮定によって。
