2024年8月25日日曜日

748: モーションたちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
モーションたちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、モーションたちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
{F1,...,Fn}: Fj∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
{F1′,...,Fn′}: Fj′∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもので、∀j∈{1,...,n−1}(Fj′=Fj+1)を満たすもの
{V1,...,Vn}: Vj∈{ 全てのノルム付き Fj ベクトルたちスペース（空間）たち }で、ノルム‖∙‖jを持つもの
{V1′,...,Vn′}: Vj′∈{ 全てのノルム付き Fj′ ベクトルたちスペース（空間）たち }で、∀j∈{1,...,n−1}(Vj′⊆Vj+1)を満たし、ノルム‖∙‖j+1を持つもの
{f1,...,fn}: fj:Vj→Vj′, ∈{ 全てのモーションたち }
//

ステートメント（言明）たち:
fn∘...∘f1:V1→Vn′∈{ 全てのモーションたち }
//

2: 自然言語記述


任意の{F1,...,Fn}、ここで、Fj∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意の{F1′,...,Fn′}、ここで、Fj′∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持ち、各j∈{1,...,n−1}に対して、Fj′=Fj+1を満たすもの、任意の{V1,...,Vn}、ここで、Vj∈{ 全てのノルム付き Fj ベクトルたちスペース（空間）たち }で、ノルム‖∙‖jを持つもの、任意の{V1′,...,Vn′}、ここで、Vj′∈{ 全てのノルム付き Fj′ ベクトルたちスペース（空間）たち }で、各j∈{1,...,n−1}に対して、Vj′⊆Vj+1を満たし、ノルム‖∙‖j+1を持つもの、任意の{f1,...,fn}、ここで、fj:Vj→Vj′は任意のモーション、に対して、fn∘...∘f1:V1→Vn′はモーションである。

3: 証明


全体戦略: nに関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: n=1ケースに対して証明する; ステップ2: n=2ケースに対して証明する; ステップ3: n=1,...,n′−1ケースたちに対してそれを仮定し、n=n′ケースに対してそれを証明する。

ステップ1:

n=1であると仮定しよう。

f1はモーションである。

ステップ2:

n=2であると仮定しよう。

各v,v′∈V1に対して、‖v−v′‖1=‖f1(v)−f1(v′)‖2=‖f2∘f1(v)−f2∘f1(v′)‖3。したがって、f2∘f1はモーションである。

ステップ3:

n=1,...,n′−1ケースたちに対して本命題は成立すると仮定しよう。

n=n′であると仮定しよう。

fn′∘...∘f1=fn′∘(fn′−1∘...∘f1)。fn′−1∘...∘f1はモーションである、n=n′−1ケースに対するインダクション（帰納）仮定によって。fn′∘(fn′−1∘...∘f1)はモーションである、n=2ケースに対するインダクション（帰納）仮定によって。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: