747: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である

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同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モーションの定義を知っている。
• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
• 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該ドメイン（定義域）の任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされるという命題を認めている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちの任意のセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_1$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_1$を持つもの
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、任意のインナープロダクト（内積）$\Vert \bullet {\Vert }_2$によってインデュースト（誘導された）ノルム$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_2$を持つもの
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}$
//

ステートメントたち:
$f(0)=0$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_1$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_1$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_1$を持つもの、任意の$d$ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_2$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_2$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_2$を持つもの、以下を満たす任意のモーション$f:V_1\to V_2$、つまり、$f(0)=0$、に対して、$f$はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $V_1$の任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）$\{e_1,...,e_d\}$を取る; ステップ2: $\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: $c^j{e}_j\in V_1$は任意のものであるとし、$f(c^j{e}_j)=c^{j}f(e_j)$であることを見る; ステップ4: $f$はリニア（線形）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。

ステップ1:

$V_1$の任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス$\{e_1,...,e_d\}$を取ろう、それは可能である、グラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）によって。

ステップ2:

$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$はオーソノーマル（正規直交）である、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該ドメイン（定義域）の任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされるという命題によって。$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちの任意のセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題によって。$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$のベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。

ステップ3:

$v=c^j{e}_j\in V_1$は任意のものであるとしよう。

$f(v)$は$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$（それは、$V_2$のベーシス（基底）である）のリニアコンビネーション（線形結合）である。$f(v)=c^{\prime j}f(e_j)$であるとしよう。

$\Vert v{\Vert }_1=\Vert v-0{\Vert }_1=\Vert f(v)-f(0){\Vert }_2=\Vert f(v)-0{\Vert }_2=\Vert f(v){\Vert }_2$。

$\Vert v{\Vert }_1^2=\Vert c^j{e}_j{\Vert }_1^2=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c^j}^2$; $\Vert f(v){\Vert }_2^2=\Vert c^{\prime j}f(e_d){\Vert }_2^2=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c^{\prime j}}^2$。したがって、$\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c^j}^2=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c^{\prime j}}^2$。

それに加え、各$k\in \{1,...,d\}$に対して、$\Vert v-e_k{\Vert }_1=\Vert f(v)-f(e_k){\Vert }_2$。

$\Vert v-e_k{\Vert }_1^2=\Vert c^j{e}_j-e_k{\Vert }_1^2=\Vert \sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c}^j{e}_j+(c^k-1)e_k{\Vert }_1^2=\sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c^j}^2+(c^k-1{)}^2$; $\Vert f(v)-f(e_k){\Vert }_2^2=\Vert c^{\prime j}f(e_d)-f(e_k){\Vert }_2^2=\Vert \sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c}^{\prime j}f(e_j)+(c^{\prime k}-1)f(e_k){\Vert }_2^2=\sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c^{\prime j}}^2+(c^{\prime k}-1{)}^2$。したがって、$\sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c^j}^2+(c^k-1{)}^2=\sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c^{\prime j}}^2+(c^{\prime k}-1{)}^2$。

$\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c^j}^2-(\sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c^j}^2+(c^k-1{)}^2)=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{c^{\prime j}}^2-(\sum _{j\in \{1,...,k-1,\hat{k},k+1,...,d\}}{c^{\prime j}}^2+(c^{\prime k}-1{)}^2)$、それが含意するのは、${c^k}^2-(c^k-1{)}^2={c^{\prime k}}^2-(c^{\prime k}-1{)}^2$、それが含意するのは、$c^k=c^{\prime k}$。

したがって、$f(c^j{e}_j)=c^{j}f(e_j)$。

ステップ4:

$v=c^j{e}_j,v^{\prime }=c^{\prime j}{e}_j\in V_1$および$r,r^{\prime }\in \mathbb{R}$は任意のものであるとしよう。

$f(rv+r^{\prime }{v}^{\prime })=f(r{c}^j{e}_j+r^{\prime }{c}^{\prime j}{e}_j)=f((r{c}^j+r^{\prime }{c}^{\prime j})e_j)=(r{c}^j+r^{\prime }{c}^{\prime j})f(e_j)=r{c}^{j}f(e_j)+r^{\prime }{c}^{\prime j}f(e_j)=rf(v)+r^{\prime }f(v^{\prime })$。

したがって、$f$はリニア（線形）である。

ステップ5:

各$v\in V_1$に対して、$\Vert v{\Vert }_1=\Vert v-0{\Vert }_1=\Vert f(v)-f(0){\Vert }_2=\Vert f(v)-0{\Vert }_2=\Vert f(v){\Vert }_2$。

したがって、$f$はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である。

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参考資料

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