同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モーションの定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該ドメイン（定義域）の任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちの任意のセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_1\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\Vert \bullet \Vert_2\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\langle \bullet, \bullet \rangle_2\)を持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
//
ステートメントたち:
\(f (0) = 0\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_1\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_2\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの、以下を満たす任意のモーション\(f: V_1 \to V_2\)、つまり、\(f (0) = 0\)、に対して、\(f\)はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)の任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_d\}\)を取る; ステップ2: \(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(c^j e_j \in V_1\)は任意のものであるとし、\(f (c^j e_j) = c^j f (e_j)\)であることを見る; ステップ4: \(f\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V_1\)の任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス\(\{e_1, ..., e_d\}\)を取ろう、それは可能である、グラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）によって。
ステップ2:
\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)はオーソノーマル（正規直交）である、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該ドメイン（定義域）の任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされるという命題によって。\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちの任意のセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題によって。\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)のベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。
ステップ3:
\(v = c^j e_j \in V_1\)は任意のものであるとしよう。
\(f (v)\)は\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)（それは、\(V_2\)のベーシス（基底）である）のリニアコンビネーション（線形結合）である。\(f (v) = c'^j f (e_j)\)であるとしよう。
\(\Vert v \Vert_1 = \Vert v - 0 \Vert_1 = \Vert f (v) - f (0) \Vert_2 = \Vert f (v) - 0 \Vert_2 = \Vert f (v) \Vert_2\)。
\(\Vert v \Vert_1^2 = \Vert c^j e_j \Vert_1^2 = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} {c^j}^2\); \(\Vert f (v) \Vert_2^2 = \Vert c'^j f (e_d) \Vert_2^2 = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} {c'^j}^2\)。したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} {c^j}^2 = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} {c'^j}^2\)。
それに加え、各\(k \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(\Vert v - e_k \Vert_1 = \Vert f (v) - f (e_k) \Vert_2\)。
\(\Vert v - e_k \Vert_1^2 = \Vert c^j e_j - e_k \Vert_1^2 = \Vert \sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} c^j e_j + (c^k - 1) e_k \Vert_1^2 = \sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} {c^j}^2 + (c^k - 1)^2\); \(\Vert f (v) - f (e_k) \Vert_2^2 = \Vert c'^j f (e_d) - f (e_k) \Vert_2^2 = \Vert \sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} c'^j f (e_j) + (c'^k - 1) f (e_k) \Vert_2^2 = \sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} {c'^j}^2 + (c'^k - 1)^2\)。したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} {c^j}^2 + (c^k - 1)^2 = \sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} {c'^j}^2 + (c'^k - 1)^2\)。
\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} {c^j}^2 - (\sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} {c^j}^2 + (c^k - 1)^2) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} {c'^j}^2 - (\sum_{j \in \{1, ..., k - 1, \hat{k}, k + 1, ..., d\}} {c'^j}^2 + (c'^k - 1)^2)\)、それが含意するのは、\({c^k}^2 - (c^k - 1)^2 = {c'^k}^2 - (c'^k - 1)^2\)、それが含意するのは、\(c^k = c'^k\)。
したがって、\(f (c^j e_j) = c^j f (e_j)\)。
ステップ4:
\(v = c^j e_j, v' = c'^j e_j \in V_1\)および\(r, r' \in \mathbb{R}\)は任意のものであるとしよう。
\(f (r v + r' v') = f (r c^j e_j + r' c'^j e_j) = f ((r c^j + r' c'^j) e_j) = (r c^j + r' c'^j) f (e_j) = r c^j f (e_j) + r' c'^j f (e_j) = r f (v) + r' f (v')\)。
したがって、\(f\)はリニア（線形）である。
ステップ5:
各\(v \in V_1\)に対して、\(\Vert v \Vert_1 = \Vert v - 0 \Vert_1 = \Vert f (v) - f (0) \Vert_2 = \Vert f (v) - 0 \Vert_2 = \Vert f (v) \Vert_2\)。
したがって、\(f\)はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である。
