グループ（群）に対して、固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(p\): \(\in G\)
\(f_p\): \(: G \to G, p' \mapsto p p'\)
\(f'_p\): \(: G \to G, p' \mapsto p' p\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_p \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(\land\)
\(f'_p \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意の要素\(p \in G\)に対して、\(G\)に対する、\(p\)による、左からのマップ（写像）\(f_p: G \to G, p' \mapsto p p'\)または右からのマップ（写像）\(f'_p: G \to G, p' \mapsto p' p\)はバイジェクション（全単射）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_p\)がインジェクティブ（単射）であることを見る、2つの互いに異なる要素たちが同一イメージ（像）を持っていると仮定し、矛盾を見つけることによって; ステップ2: \(f_p\)はサージェクティブ（全射）であることを見る、ある恣意的なコドメイン（余域）要素へマップするあるドメイン（定義域）要素を見つけることによって; ステップ3: \(f'_p\)はインジェクティブ（単射）であることを見る、2つの互いに異なる要素たちが同一イメージ（像）を持っていると仮定し、矛盾を見つけることによって; ステップ4: \(f'_p\)はサージェクティブ（全射）であることを見る、ある恣意的なコドメイン（余域）要素へマップするあるドメイン（定義域）要素を見つけることによって。
ステップ1:
\(f_p\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
以下を満たす要素たち\(p_1, p_2 \in G\)、つまり、\(p_1 \neq p_2\)および\(f_p (p_1) = f_p (p_2)\)があったと仮定しよう。
\(f_p (p_1) = p p_1 = p p_2 = f_p (p_2)\)。\(p_1 = p^{-1} p p_1 = p^{-1}p p_2 = p_2\)、矛盾。
したがって、以下を満たす各\(p_1, p_2 \in G\)、つまり、\(p_1 \neq p_2\)、に対して、\(f_p (p_1) \neq f_p (p_2)\)。
ステップ2:
\(f_p\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
\(p' \in G\)は任意のものとしよう。\(f_p (p^{-1} p') = p p^{-1} p' = p'\)。
ステップ3:
\(f'_p\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
以下を満たす要素たち\(p_1, p_2 \in G\)、つまり、\(p_1 \neq p_2\)および\(f'_p (p_1) = f'_p (p_2)\)があったとしよう。
\(f'_p (p_1) = p_1 p = p_2 p = f_p (p_2)\)。\(p_1 = p_1 p p^{-1} = p_2 p p^{-1} = p_2\)、矛盾。
したがって、以下を満たす各\(p_1, p_2 \in G\)、つまり、\(p_1 \neq p_2\)、に対して、\(f'_p (p_1) \neq f'_p (p_2)\)。
ステップ4:
\(f'_p\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
\(p' \in G\)を任意のものとしよう。\(f'_p (p' p^{-1}) = p' p^{-1} p = p'\)。
