717: グループ（群）に対して、固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である

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グループ（群）に対して、固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$p$: $\in G$
$f_p$: $:G\to G,p^{\prime }\mapsto p{p}^{\prime }$
$f_p^{\prime }$: $:G\to G,p^{\prime }\mapsto p^{\prime }p$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_p\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
$\wedge$
$f_p^{\prime }\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、任意の要素$p\in G$に対して、$G$に対する、$p$による、左からのマップ（写像）$f_p:G\to G,p^{\prime }\mapsto p{p}^{\prime }$または右からのマップ（写像）$f_p^{\prime }:G\to G,p^{\prime }\mapsto p^{\prime }p$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f_p$がインジェクティブ（単射）であることを見る、2つの互いに異なる要素たちが同一イメージ（像）を持っていると仮定し、矛盾を見つけることによって; ステップ2: $f_p$はサージェクティブ（全射）であることを見る、ある恣意的なコドメイン（余域）要素へマップするあるドメイン（定義域）要素を見つけることによって; ステップ3: $f_p^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であることを見る、2つの互いに異なる要素たちが同一イメージ（像）を持っていると仮定し、矛盾を見つけることによって; ステップ4: $f_p^{\prime }$はサージェクティブ（全射）であることを見る、ある恣意的なコドメイン（余域）要素へマップするあるドメイン（定義域）要素を見つけることによって。

ステップ1:

$f_p$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

以下を満たす要素たち$p_1,p_2\in G$、つまり、$p_1\ne p_2$および$f_p(p_1)=f_p(p_2)$があったと仮定しよう。

$f_p(p_1)=p{p}_1=p{p}_2=f_p(p_2)$。$p_1=p^{-1}p{p}_1=p^{-1}p{p}_2=p_2$、矛盾。

したがって、以下を満たす各$p_1,p_2\in G$、つまり、$p_1\ne p_2$、に対して、$f_p(p_1)\ne f_p(p_2)$。

ステップ2:

$f_p$はサージェクティブ（全射）であることを見よう。

$p^{\prime }\in G$は任意のものとしよう。$f_p(p^{-1}{p}^{\prime })=p{p}^{-1}{p}^{\prime }=p^{\prime }$。

ステップ3:

$f_p^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

以下を満たす要素たち$p_1,p_2\in G$、つまり、$p_1\ne p_2$および$f_p^{\prime }(p_1)=f_p^{\prime }(p_2)$があったとしよう。

$f_p^{\prime }(p_1)=p_{1}p=p_{2}p=f_p(p_2)$。$p_1=p_{1}p{p}^{-1}=p_{2}p{p}^{-1}=p_2$、矛盾。

したがって、以下を満たす各$p_1,p_2\in G$、つまり、$p_1\ne p_2$、に対して、$f_p^{\prime }(p_1)\ne f_p^{\prime }(p_2)$。

ステップ4:

$f_p^{\prime }$はサージェクティブ（全射）であることを見よう。

$p^{\prime }\in G$を任意のものとしよう。$f_p^{\prime }(p^{\prime }{p}^{-1})=p^{\prime }{p}^{-1}p=p^{\prime }$。

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参考資料

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